5. Komparuj Mocnejšiu Stranu vzorové riešenie

Ako prvé je dobré si uvedomiť, ako sa dá pracovať s logaritmami. Na uvedenej wiki stránke boli tieto dva vzorčeky, vďaka ktorým si vieme našu nerovnosť upraviť na prijateľnejší tvar:

\[\log_a bc=\frac {\log_q bc}{\log_q a}=\frac{\log_q b+\log_q c}{\log_q a}.\]

Dobrou radou v takýchto príkladoch je upraviť všetky logaritmy na rovnaký základ. Upravme preto všetky logaritmy na nejaký základ väčší ako \(1\), nemusíme si ani určiť, že presne na aký. Ľavá strana:

\[\log_a bc+ \log_b ac + \log_c ab= \frac {\log {bc}}{\log a}+\frac {\log {ac}}{\log b}+\frac {\log {ab}}{\log c} = \frac {\log b+\log c}{\log a}+\frac {\log a+\log c}{\log b}+\frac {\log a+\log b}{\log c}.\] Potom pravá strana: \[ 4(\log_{ab}c + \log_{ac}b + \log_{bc}a)= 4\left(\frac{\log c }{\log{ab}}+ \frac{\log{a}}{\log{cb}}+ \frac{\log{b}}{\log{ac}}\right)= 4\left(\frac{\log c}{\log{a} + \log b}+\frac{\log{a}}{\log{b} + \log c}+\frac{\log{b}}{\log{a} + \log c}\right). \] Spojením strán dostávame takúto nerovnosť:

\[\frac {\log b + \log c}{\log a}+\frac {\log a + \log c}{\log b}+\frac {\log a+ \log b}{\log c} \ge 4\left( \frac{\log c}{\log{a} + \log b}+\frac{\log{a}}{\log{b} + \log c}+\frac{\log{b}}{\log{a} + \log c}\right)\]

V celej nerovnosti máme len tri rôzne logaritmy, preto si zjednodušme prácu tým, že zavedieme substitúciu \(x=\log a\), \(y=\log b\), \(z=\log c\). Vďaka podmienke zo zadania, vieme že \(x\), \(y\), \(z\) sú väčšie ako \(0\), a teda môžeme beztrestne týmito číslami deliť a násobiť. Vznikne nám takto nová nerovnica

\[\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}\ge4\left(\frac{x}{z+y}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}\right).\]

Jeden zo spôsobov riešenia je úprava nerovnosti na taký tvar, v ktorom budeme môcť použiť AH nerovnosť¹. Pre dve kladné reálne čísla \(a_1\), \(a_2\) vyzerá následovne: \[\frac{a_1+a_2}{2} \ge \frac{2}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}}.\] V našom výraze najprv upravíme zlomky na pravej strane do tvaru

\[\frac{x}{z+y}=\frac{1}{\frac{z}{x}+\frac{y}{x}},\] ktorý sa vyskytuje v AH nerovnosti. Následne obe strany nerovnosti predelíme dvomi, čím dostaneme \[\frac{\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}}{2}\ge2(\frac{x}{z+y}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}).\] Teraz vidíme, že táto nerovnosť je súčtom troch AH nerovností \[\frac{\frac{x}{y} + \frac{z}{y}}{2}\ge\frac{2}{\frac{x}{y}+\frac{z}{y}},\qquad \frac{\frac{y}{x} + \frac{z}{x}}{2}\ge\frac{2}{\frac{y}{x}+\frac{z}{x}},\qquad \frac{\frac{x}{z} + \frac{y}{z}}{2}\ge\frac{2}{\frac{x}{z}+\frac{y}{z}}. \] Keď teda tieto tri nerovnosti sčítame, dostávame presne to, čo sme chceli — našu nerovnosť.

Iné riešenie

Ďalšia dobrá myšlienka bola na začiatku riešenia si zvoliť za \(q\) (základ logaritmu, na ktorý upravujeme hodnotu \(c\) (alebo \(a\) či \(b\)). Niektoré členy sa nám tým pádom zmenia na jednotky a strany nerovnice budú vyzerať nasledovne: \[\log_a bc+ \log_b ac + \log_c ab= \frac {\log_c {bc}}{\log_c a}+\frac {\log_c {ac}}{\log_c b}+\frac {\log_c {ab}}{\log_c c} = \frac {\log_c b+1}{\log_c a}+\frac {\log_c a+1}{\log_c b}+\log_c a+\log_c b,\] \[ 4(\log_{ab}c + \log_{ac}b + \log_{bc}a)= 4\left(\frac{\log_c c }{\log_c{ab}}+ \frac{\log_c{a}}{\log_c{cb}}+ \frac{\log_c{b}}{\log_c{ac}}\right)= 4\left(\frac{1}{\log_c{a} + \log_c b}+\frac{\log_c{a}}{\log_c{b} + 1}+\frac{\log_c{b}}{\log_c{a} + 1}\right) .\]

Teraz naša nerovnica obsahuje už len dve neznáme a teda pôjde o veľký kus jednoduchšie riešiť roznásobením a rozbitím na čiastkové nerovnosti. Ak by sme ju roznásobili a poodčítavali členy, čo nám ostanú na oboch stranách, dostali by sme len súčet niekoľkých AG-nerovností, s ktorými by sme si už hravo poradili.

Komentár

Najčastejšia chyba bola v nasledovnej myšlienke. Ak si namiesto \(x=\log a\), \(y=\log b\), \(z=\log c\) zavedieme takúto substitúciu: \[x=\frac {\log (c) + \log(b)}{\log (a)},\quad y=\frac {\log (a) + \log(b)}{\log (c)},\quad x=\frac {\log (b) + \log(c)}{\log (a)},\] dostaneme tak nerovnosť \[x+y+z\ge 4(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}).\] Ďalej, ak túto nerovnicu upravíme, vidíme tam tri čiastkové nerovnosti (tvaru \(x-\frac{4}{x} \ge 0\)). Ak \(x\), \(y\), \(z\) sú aspoň \(2\), tak tá nerovnosť platí. To je správna úvaha, no bohužiaľ niektorá z neznámych môže byť menšia ako \(2\). Ak platí celá nerovnosť, tie čiastkové platiť nemusia, na to si treba do budúcna dávať pozor (aj keď opačne to funguje). Viacerí ste svoje riešenie zakončili na tomto kroku, kedy ste tvrdili, že musia byť jednoducho väčšie ako \(2\), čo ale neplatí.