Zadanie
Tomáško miluje, keď má na stole systém a poriadok. Preto si na obede uložil lyžičku, vidličku, nožík, koreničku a soľničku postupne do bodov \(L\), \(V\), \(N\), \(K\) a \(S\). Vytvoril tak z príboru rovnoramenný trojuholník \(LVN\) so základňou \(VN\). Body \(K\) a \(S\) sa nachádzali postupne na stranách \(LV\) a \(LN\). Všetko bolo navrhnuté tak, že osi uhlov \(VKS\) a \(KSN\) sa preťali v bode \(M\), ktorý ležal na základni \(VN\). Nakoniec umiestnil Tomáško do bodu \(M\) makovničku. Dokážte, že bod \(M\) sa nachádza v strede základne \(VN\).
Táto úloha sa dala vyriešiť viacero spôsobmi. Napríklad aj na menej ako štyri regulérne riadky:
Uhly \(KSN\) a \(VKS\) sú vonkajšie uhly trojuholníka \(LKS\). Priesečník ich osí je stred kružnice pripísanej tomuto trojuholníku, podľa zadania je to taktiež bod \(M\). Z definície týmto bodom prechádza aj os uhla \(KLS\). Táto os pretína stanu \(VN\) v jej strede, keďže \(LVN\) je rovnoramenný. Bod \(M\) leží na tejto osi aj na strane \(VN\), ich priesečníkom je stred \(VN\), a teda bod \(M\) leží v strede strany \(VN\).
Dalo sa na to samozrejme ísť aj inak. Keď si vyjadríme a doplníme všetky vnútorné uhly, všimneme si, že trojuholníky \(KVM\), \(KMS\) a \(SMN\) majú rovnaké vnútorné uhly, a sú si teda podobné (pre uhly konkrétne platí, že \(|\sphericalangle VKM|=|\sphericalangle MKS|=|\sphericalangle SMN|\), \(|\sphericalangle KVM|=|\sphericalangle KMS|=|\sphericalangle MNS|\) a \(|\sphericalangle VMK|=|\sphericalangle KSM|=|\sphericalangle MSN|\)). Aby to bolo zjavnejšie, môžme si spraviť obrázok len s týmito troma trojuholníkmi, kde strany medzi rovnakými uhlami označíme rovnakým písmenkom.
Teraz už si môžeme zostavovať rovnice od výmyslu sveta. Z toho, že trojuholníky sú si podobné vieme, že platí \(y_3/y_2=x_3/x_2\). Keď sa pozrieme na obrázok, uvidíme, že \(z_3=x_2\) a \(y_2=z_1\). Tak to použijeme a dostaneme \(y_3/z_1=x_3/z_3\). A už si len vyjadríme \(y_3\) ako \(y_3=z_1x_3/z_3\). Okej, toto si pamätáme, poďme spraviť nejakú inú rovnicu.
Napríklad \(x_1/x_3=z_1/z_3\). Vyjadríme \(x_1\) ako \(x_1=x_3z_1/z_3\). Stačí sa pozrieť o odsek vyššie vidíme, že \(x_1=y_3\). Tieto dve strany tvoria stranu \(VN\), a keďže sú rovnaké, bod \(M\) bude ležať v strede strany \(VN\). Hotovo.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.