5. Keď Musíš Stáť (κ ≤ 7) vzorové riešenie

Najmenší spoločný násobok červených čísel si označme \(c\) a najmenší spoločný násobok modrých čísel si označme \(m\). Povedzme si, že Števko mohol ako svoj výsledok dostať mocninu dvojky a poďme sa pozrieť, kam sa s týmto predpokladom dostaneme.

Keďže z každej farby je aspoň jeden vešiak, tak vešiaky sú aspoň dva a aspoň jeden z nich má na sebe párne číslo, teda aspoň jedno z čísel \(m\), \(c\) je párne. Ich súčet má ale tiež byť párny, preto musia byť párne obe. No a z toho vyplýva, že na vešiakoch máme aspoň dve párne čísla – aspoň jedno pre každú farbu.

Prvočíselný rozklad čísel \(m\) a \(c\) je tvorený prvočíslami, ktoré sa nachádzajú v prvočíselných rozkladoch modrých a červených čísel a to tak, že každé prvočíslo je umocnené na najväčšiu z mocnín, v ktorej sa nachádza na čísle príslušnej farby. Označme \(2^x\) túto (najvyššiu) mocninu dvojky v čísle \(m\) a \(2^y\) najväčšiu mocninu dvojky v čísle \(c\). Súčin všetkých ostatných prvočísel z čísla \(m\) je nepárny a označíme ho \(k\). Analogicky zadefinujeme \(l\) pre červené čísla. Vieme teda, že \(m=2^x \cdot k\) a \(c=2^y \cdot l\).

Bez ujmy na všeobecnosti môžeme predpokladať, že \(x \ge y\). Súčet \(m+c\) teda môžeme zapísať ako \[m + c = 2^x \cdot k + 2^y \cdot l = 2^y \cdot(2^{x-y}\cdot k + l).\] Aby tento súčet mohol byť mocninou dvojky, musí byť výraz v zátvorke párny. To je ale problém, lebo ak \(x > y\), je to súčet párneho a nepárneho čísla, teda je nepárny.

Aby sme tomuto problému zabránili, potrebujeme aby platilo \(x=y\) (výraz v zátvorke by bol v takomto prípade párny). To znamená, že v postupnosti po sebe idúcich čísel na vešiakoch existujú aspoň dve čísla, ktoré majú rovnaký (a v danej postupnosti najväčší) exponent pri dvojke. tieto čísla sa dajú vyjadriť ako \(2^x \cdot a\) a \(2^x \cdot (a+1)\) (keďže je naša postupnosť súvislá, musia byť čísla, ktorými násobíme najvyššie mocniny dvojky po sebe idúce). Lenže z čísel \(a\) a \(a + 1\) je práve jedno párne, teda dvojka sa v prvočíselnom rozklade jedného z čísel \(2^x \cdot a\), \(2^x \cdot (a+1)\) vyskytuje o jeden krát viac. To ale nesedí s tým, ako sme si zvolili číslo \(x\). Medzi za sebou idúcimi číslami teda nemôžu existovať dve čísla s najvyššou mocninou dvojky (nemôže platiť, že \(x=y\)). Predpoklad, že Števkov výsledok bol mocninou dvojky teda musí byť nesprávny.

Števko preto nemohol sčítaním najmenšieho spoločného násobku modrých čísel a najmenšieho spoločného násobku červených čísel dostať mocninu dvojky.