6. Krotiteľ Mystických Šeliem vzorové riešenie

Treba dokázať, že tri priamky sa pretínajú v jednom bode. Akým štýlom sa to dá ukázať? Napríklad možno ukázať, že tam kde sa dve pretnú, sa pretína aj tretia. Ďalší postup je to previesť na problémy, ktoré sú už vyriešené, napríklad, že osi uhlov, osi strán, ťažnice alebo výšky trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Ak by naše priamky v skutočnosti reprezentovali niektorý zo spomínaných prípadov, boli by sme vyhrali. Na zistenie, či môžeme niečo také využiť, potrebujeme zistiť čosi viac o bodoch \(A_3\), \(B_3\) a \(C_3\). Keď sa však zamyslíme, tak vieme vylučovaním možností prísť na to, že spomedzi vyššie uvedených je jediný vhodný kandidát priesečník osí uhlov. Môžete sa zamyslieť, prečo sme tie ostatné možnosti rýchlo zavrhli. Keďže by sme radi ukázali, že \(AA_3\) je os uhla \(BAC\), tak by sa patrilo ukázať rovnosť uhlov \(BAA_3\) a \(A_3AC\). Preto sa budeme ďalej zapodievať uhlami. Samozrejme, ak by sa nám nepodarilo ukázať, že je to os uhla, tak musíme skúsiť niečo iné (ale netreba sa vzdávať moc skoro).

Označme si uhly ako na obrázku. Ak by naša úsečka \(AA_3\) bola v skutočnosti os uhla, tak uhly \(\epsilon\) a \(\delta\) by mali oba veľkosť \(\frac{\alpha}{2}\). Tento poznatok máme z toho, že \(\delta\) je úsekový uhol k uhlu \(A_1AA_3\) a \(\epsilon\) je úsekový uhol k uhlu \(A_3AA_2\). ¹ To by ale znamenalo, že \(\epsilon + \delta = \alpha\). Keď sa zamyslíme, tak toto tvrdenie je v skutočnosti pravdivé. Naše zamyslenie bude následujúce: Keďže body \(A\), \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) ležia na kružnici, tak \(|\sphericalangle A_2A_3A_1|=180^\circ-\alpha\). A doplnok tohto uhla je \(\alpha\), ale zároveň aj súčet uhlov \(\delta\) a \(\epsilon\). Čo podporuje naše podozrenie, že máme čo dočinenia s osou uhla. Avšak stále treba ukázať rovnosť uhlov \(\delta\) a \(\epsilon\).

Rovnosť ukážeme prenášaním uhlov. Keďže uhol \(\epsilon\) je úsekový uhol aj ku uhlu \(X\) tak sa veľkosti týchto dvoch uhlov rovnajú, \(\epsilon =X\). Lenže \(BC\) a \(A_1A_2\) sú rovnobežky, takže vieme povedať, že \(X = \delta\). Teda \(\delta = X =\epsilon\). Čo sme potrebovali dokázať.

Takže zhrňme si to. Keďže \(\delta = \epsilon\) a vieme, že \(\delta + \epsilon = \alpha\), vieme aj, že \(\delta = \epsilon = \frac{\alpha}{2}\). Vďaka úsekovosti \(\delta\) či \(\epsilon\) k uhlom \(A_1AA_3\) či \(A_3AA_2\) máme \(|\sphericalangle A_1AA_3|=\delta=\frac{\alpha}{2}=\epsilon=|\sphericalangle A_3AA_2|\). Teda máme čo dočinenia s osou uhla. Analogicky to spravíme pre priamky \(BB_3\) a \(CC_3\) a máme, že tri osi uhlov sa majú pretínať v jednom bode (v strede kružnice vpísanej trojuholníku \(ABC\)). A to je známe tvrdenie, na ktoré sa môžeme odvolať.