2. Kde Miznú Stopy (κ ≤ 2) vzorové riešenie

Zo zadania úlohy vieme, že uhly \(ACB\) a \(M_1BA\) majú rovnakú veľkosť. My potrebujeme zistiť súčet uhlov \(M_1BM_2\) a \(ACB\). Keďže uhly \(M_1BA\) a \(M_1BM_2\) majú spoločné rameno \(BM_1\), tiež vieme, že výsledkom hľadaného súčtu bude veľkosť uhla \(ABM_2\). Označíme si stred úsečky \(BC\) ako \(S\). Bod \(D\) je obrazom bodu \(A\) v stredovej súmernosti podľa bodu \(S\). Stredová súmernosť zachováva vzdialenosti, takže úsečky \(AS\) a \(SD\) sú rovnako dlhé. Inak povedané, bod \(S\) je stredom úsečky \(AD\). Bod \(S\) je aj stredom úsečky \(BC\), z čoho vieme, že aj úsečky \(BS\) a \(SC\) majú rovnakú dĺžku.

Zistili sme, že stred úsečiek \(AD\) a \(BC\) je v tom istom bode, bode \(S\) a tieto úsečky sa navzájom sa rozpoľujú. To znamená, že štvoruholník \(ABCD\) je rovnobežník a úsečky \(AD\) a \(BC\) sú jeho uhlopriečky. Z definície rovnobežníka vyplýva, že protiľahlé strany sú rovnobežné a rovnako dlhé. V našom prípade je rovnobežná strana \(AB\) so stranou \(CD\) a strana \(BD\) so stranou \(AC\). Zo zadania vieme, že trojuholník \(ABC\) je rovnoramenný so základňou \(AB\). Takže úsečky \(AC\) a \(BC\) majú rovnakú dĺžku. Vieme už, že aj úsečka \(BD\) má takú istú dĺžku. Takže trojuholník \(CDB\) je rovnoramenný, so základňou \(CD\). Bod \(M_2\) je stred úsečky \(CD\) a v rovnoramennom trojuholníku je päta výšky na základňu v strede základne. V našom prípade v bode \(M_2\). Výška trojuholníka je kolmá na stranu, takže úsečka \(BM_2\) je kolmica na stranu \(CD\) a vďaka rovnobežnosti aj na stranu \(AB\). Z daného tvrdenia vieme, že uhol \(ABM_2\) je pravý a teda má \(90^{\circ}\).