7. Kapitán, Maršál, Stotník vzorové riešenie

Pri riešení úloh s funkcionálnymi rovnicami je dobrým začiatkom skúsiť dosadiť za premenné konkrétne hodnoty spĺňajúce zadanie a ak sme vybrali správne, dokáže nám to v mnohom pomôcť.

Začnime jednoducho \(a = b = c = d = 1\). Dostávame, že \(4f^{2}(1) = 4\). Z toho dostávame, že \(f(1) = 1\), pretože podľa zadania je \(f\) funkcia z kladných čísel do kladných čísel. Teraz skúsime odsadiť \((a, b, c, d) = (1, 1, x, \frac{1}{x})\). Po tomto dosadení dostávame \(2f(1) \cdot (f(x)+f(\frac{1}{x}) = 2(x+\frac{1}{x})\), čo môžeme predeliť \(2\)-kou tak, že máme vzťah \(f(x)+f(\frac{1}{x}) = (x+\frac{1}{x})\).

Zaujímať by nás ešte mohlo, čo sa bude diať, keď \(x\) a \(\frac{1}{x}\) nebudú spolu v zátvorke, skúsme teda \((a, b, c, d) = (1, x, 1, \frac{1}{x})\). Máme \(1+f(x) \cdot 1+f(\frac{1}{x}) = (1+x)(1+\frac{1}{x})\), čo nám po roznásobení a odčítaní \(1\) dá rovnosť \(f(x) + f(\frac{1}{x}) + f(x)f(\frac{1}{x}) = 1 + x + \frac{1}{x}\). Ak sa teraz pozrieme na dve rovnosti, ktoré sme dostali a odčítame ich od seba, dostávame nový vzťah: \(f(x)f(\frac{1}{x}) = 1\), teda \(f(\frac{1}{x}) = \frac{1}{f(x)}\). Po dosadení do prvej z nich dostaneme navyše, že \(f(x)+\frac{1}{f(x)} = x+\frac{1}{x}\), z čoho po prenásobení \(f(x)\) dostávame kvadratickú rovnicu, ktorá má nanajvýš dve riešenia. Zároveň pomerne ľahko vidno, že \(f(x)=x\) a \(f(x)=\frac{1}{x}\) sú riešenia. Iné teda nebudú.

Ukážme ešte sporom, že neexistujú také \(x, y \neq 1\), že \(f(x) = x\) a \(f(y) = \frac{1}{y}\): Skúsme dosadiť za \((a, b, c, d)\) napríklad \((x, y, \frac{1}{x}, \frac{1}{y})\). Použitím rovností, ktoré sme si už ukázali dostávame rovnosť \((x + \frac{1}{y})(\frac{1}{x} + y) = (x + y)(\frac{1}{x} +\frac{1}{y})\). Po úpravách dostávame \((xy)^{2} + 1 = x^{2} + y^{2}\), z čoho dostávame \((x^{2} - 1)(y^{2} - 1) = 0\). Tomu vyhovuje jedine \(x = 1\) alebo \(y = 1\). To je ale spor s predpokladom, že sú rôzne od jednotky. Prečo sme si dali taký predpoklad? Zjavne pre \(x = 1\) je \(x = \frac{1}{x}\), teda v tomto prípade nám rôzny predpis neprekáža. Z tohto všetkého nám vyplýva, že jediné dve možné riešenia sú \(f(x)=x\) pre všetky kladné reálne \(x\) a \(f(x)=\frac1x\) pre všetky kladné reálne \(x\).

Na záver ešte treba urobiť skúšku správnosti pre obe riešenia, aby sme zistili, či naozaj vyhovujú. Pre \(f(x) = x\) zjavne \((a+b)(c+d) = (a+b)(c+d)\). Pre \(f(x) = \frac{1}{x}\) dostávame \((\frac{1}{a} + \frac{1}{b})(\frac{1}{c} + \frac{1}{d}) = \frac{(a+b)(c+d)}{abcd}\), keďže ale \(abcd = 1\), skúška je hotová.

Jedinými možnými funkciami teda sú: \(f(x) = x\) a \(f(x) = \frac{1}{x}\).