8. Kolmice Môjho Štvoruholníka vzorové riešenie

Najdôležitejší je asi poriadny náčrt. Jeden z pekných obrázkov nájdete tu:

Všimnite si na ňom priesečník \(BO\) a kružnice \(k\) (nazvime ho \(X\)). Ak rysujeme presne alebo používame Geogebru, tak vidíme, že leží na kružnici opísanej \(PHD\). Poďme to dokázať. Keďže \(PHB\) je pravý uhol, tak aj \(XHP\) je pravý uhol. Tým pádom \(H\) leží na Tálesovej kružnici s priemerom \(PX\).

Keďže \(X\) leží na priamke \(BO\), tak \(BX\) je priemer kružnice \(k\). Preto \(\sphericalangle BDX\) je pravý. Potom ale aj \(\sphericalangle PDX\) je pravý. Takže aj bod \(D\) leží na Tálesovej kružnici s priemerom \(PX\). Preto body \(D,\ B,\ H,\ X\) ležia na jednej kružnici s priemerom \(PX\). Podľa zadania aj \(Q\) leží na tejto kružnici.

Keďže uhlopriečky štvoruholníka \(ABCD\) sú na seba kolmé, máme, že \(|\sphericalangle CPD| = |\sphericalangle QPD| = 90^\circ\). Preto aj \(DQ\) je priemer tejto kružnice. Z toho vyplýva, že aj \(\sphericalangle DXQ\) je pravý . Preto je \(DXPQ\) obdĺžnik. Z toho zase vyplýva rovnobežnosť \(AC\) a \(DX\). Tým pádom \(ACDX\) je lichobežník. Keďže leží na kružnici, musí byť rovnoramenný. (Z vety o obvodovom uhle majú dva uhly oproti sebe súčet \(180^\circ\) a z rovnobežnosti \(|\sphericalangle CAD|+ |\sphericalangle ADX| = 180^\circ\). Z toho vyplýva zhodnosť uhlov a teda aj zhodnosť dĺžok strán.) Keďže \(|QX|=|PD|\), \(|\sphericalangle XCQ|= |\sphericalangle DAP|\) (z rovnoramennosti \(ACDX\)) a \(|\sphericalangle CQX|=90^\circ= |\sphericalangle APD|\), tak máme zhodnosť trojuholníkov \(APD\) a \(CQX\). Preto \(|AP|=|QC|\).