Zadanie

Kika si v Dánsku všimla zaujímavú vec – všetci Dáni majú ľavé rameno rovnako dlhé ako pravé a navyše, všetci Dáni rovno bežia.

Označme bod \(X\) na základni \(BC\) rovnoramenného trojuholníka \(ABC\) a body \(P\) a \(Q\) postupne na stranách \(AB\) a \(AC\) také, že \(APXQ\) je rovnobežník. Bod \(Y\) je obraz bodu \(X\) v osovej súmernosti podľa priamky \(PQ\). Dokážte, že bod \(Y\) leží na kružnici opísanej trojuholníku \(ABC\).

Chceme dokázať, že štyri body \(A\), \(B\), \(C\), \(Y\) ležia na jednej kružnici. To sa dá robiť rôznymi spôsobmi, jeden z najčastejšie používaných spôsobov je pomocou obvodových uhlov.1 Stačí nám teda dokázať rovnosť obvodových uhlov \(BAC\) a \(BYC\). Ukazujeme rovnosť pretože \(A\) a \(Y\) sú určite v rovnakej polrovnie vymedzenej priamkou \(BC\), inak by sme ukazovali, že ich súčet je \(180^\circ\). O uhle \(BYC\) na prvý pohľad nevieme veľa povedať, preto si ho rozdelíme na uhly \(BYX\) a \(XYC\) a pokúsime sa zistiť veľkosti oboch týchto uhlov.

Ďalej môžeme uvažovať nasledovne. Keďže priamky \(PX\) a \(AQ\) sú rovnobežné, trojuholníky \(PBX\) a \(ABC\) sú podobné podľa vety \(uu\), lebo majú spoločný uhol pri vrchole \(B\) a uhly \(BPX\) a \(BAC\) sú súhlasné. Trojuholník \(ABC\) je rovnoramenný, takže aj trojuholník \(PBX\) je rovnoramenný, čiže \(|PB|=|PX|\).

V osovej súmernosti podľa priamky \(PQ\) sa úsečka \(PX\) zobrazila na úsečku \(PY\), takže \(|PX|=|PY|\). Zistili sme, že všetky tri body \(B\), \(X\), \(Y\) ležia rovnako ďaleko od bodu \(P\), \(|PB|=|PX|=|PY|\), takže ležia na jednej kružnici \(l\) so stredom \(P\) a polomerom \(r=|PB|\).

Teraz už vieme určiť veľkosť uhla \(BYX\). Uvažujme tetivu \(BX\) na kružnici \(l\). Uhol \(BYX\) je obvodový a uhol \(BPX\) je stredový, takže platí \(| \sphericalangle BYX |=\frac{1}{2}| \sphericalangle BPX|=\frac{1}{2}| \sphericalangle BAC|\).

Zo symetrie situácie vzhľadom na výmenu bodov \(B\) a \(C\) vyplýva, že aj \(| \sphericalangle XYC|=\frac{1}{2}| \sphericalangle BAC|\). (Ak vám to nie je celkom jasné, môžete si to skúsiť dokázať úplne rovnako ako sme dokázali, že \(| \sphericalangle BYX|=\frac{1}{2}| \sphericalangle BAC|\), s tým že body \(B\), \(P\) vymeníte za body \(C\), \(Q\) a naopak.)

Ešte spravme posledné miniuhlenie: \[| \sphericalangle BYC|=| \sphericalangle BYX|+| \sphericalangle XYC|=\frac{1}{2}| \sphericalangle BAC|+\frac{1}{2}| \sphericalangle BAC|=| \sphericalangle BAC|.\]

Vidíme, že uhly \(BAC\) a \(BYC\) majú naozaj rovnakú veľkosť, teda sú obvodové nad tetivou \(BC\), čiže bod \(Y\) leží na kružnici opísanej trojuholníku \(ABC\).

Hlavné myšlienky tohto riešenia sú zobrazené na nasledujúcom obrázku. Zvýraznené úsečky majú rovnakú dĺžku a dvojprúžkový uhol je dvakrát väčší ako jednoprúžkový. Kružnice opísané trojuholníkom ABC a BXY som zámerne nenakreslil aby bol obrázok viac prehľadný. Lepšie je si ich len predstaviť.

  1. O obvodovom a stredovom uhle sa môžete viac dozvedieť v tomto článku \URL{https://old.kms.sk/~mazo/matematika/pocitanieUhlov.pdf}, hlavne v 2. príklade.↩

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.