1. Kam Miláčikov Skryl? (κ ≤ 1) vzorové riešenie

Hľadáme \(3\) čísla, ktoré samy o sebe nie sú druhou mocninou, no súčin ľubovolných dvoch z nich už druhou mocninou bude. Pre každú druhú mocninu platí, že má v prvočíselnom rozklade každé prvočíslo párny počet krát (vďaka tomu vychádza odmocnina celé číslo). Na to, aby žiadne z daných čísel nebolo druhou mocninou celého čísla, je potrebné, aby sa v ich prvočíselnom rozklade nachádzalo aspoň jedno prvočíslo nepárny počet krát (potom druhá odmocnina už nebude celé číslo, keďže z tohto konkrétneho prvočísla nemôžeme zobrať polovicu jeho počtu). No pri ich súčine potrebujeme zaistiť párnosť všetkých početností, a preto musíme dodržať aj to, že ak sa už niektoré prvočíslo v niektorom prvočíselnom rozklade nachádza nepárny počet krát, bude sa musieť nepárny počet krát (teda aspoň raz) nachádzať aj v zvyšných prvočíselných rozkladoch (keďže sa nám mocniny sčitujú a chceme mať v súčine vždy párny počet).

Nejaká taká trojica čísel \(a\), \(b\), \(c\) môže vyzerať napríklad takto: \[a = \underbrace{2\cdot 5 \cdot 7}_{n} \cdot\, \underbrace{3^2 \cdot 5^2}_{k},\qquad b = \underbrace{2\cdot 5 \cdot 7}_{n} \cdot\, \underbrace{5^4 \cdot 11^2 \cdot 13^6}_{l},\qquad c = \underbrace{2\cdot 5 \cdot 7}_{n} \cdot\, \underbrace{1}_{m}.\] Pri tejto trojici čísel sa prvočísla \(2\), \(5\) a \(7\) vyskytujú nepárny počet krát v prvočíselnom rozklade každého z čísel. Súčin týchto prvočísel, ktoré sa vyskytujú v každom čísle nepárny počet krát, si označíme \(n\). Keďže sa tieto prvočísla vyskytujú v rozkladoch každého z čísel \(a\), \(b\), \(c\), vieme si ich zapísať ako \(a = n \cdot k\), \(b = n \cdot l\) a \(c = n \cdot m\). Tie prvočísla, ktoré boli v rozklade čísla \(a\) v párnej mocnine, prešli v rovnakom počte aj do prvočísleného rozkladu čísla \(k\). Z prvočísel, čo boli v rozklade čísla \(a\) v nepárnej mocnine, sme jedno ubrali a zvyšok, teda párny počet, išiel do rozkladu čísla \(k\). Teda číslo \(k\) má vo svojom prvočíselnom rozklade všetky prvočísla v párnej mocnine. Preto je druhou mocninou celého čísla. Z rovnakého dôvodu sú aj čísla \(l\), \(m\) druhými mocninami celých čísel.

Avšak ďalšou podmienkou v zadaní je, aby súčet \(a + b + c\) bol čo najmenší. Poďme sa pozrieť, ako vieme naše čísla \(a = n\cdot k\), \(b = n \cdot l\) a \(c = n \cdot m\) pozmenšovať. Ako sme spomenuli, čísla \(a\), \(b\), \(c\) musia mať aspoň jedno prvočíslo vo svojich rozkladoch v nepárnej mocnine. Keďže najmenším prvočíslom je \(2\), tak číslo \(n\) musí byť aspoň \(2\). Ďalej vieme, že čísla \(a\), \(b\), \(c\) musia byť rôzne. Aby sa tak stalo, tak aj čísla \(k\), \(l\), \(m\) musia byť rôzne. Najmenšími druhými mocninami kladných celých čísel sú \(1\), \(4\) a \(9\). Keď si zvolíme \(k = 1\), \(l = 4\), \(m = 9\) a \(n = 2\), dostaneme trojicu čísel \[a = \underbrace{2}_{n} \cdot\, \underbrace{1}_{k} = 2,\qquad b = \underbrace{2}_{n} \cdot\, \underbrace{2^2}_{l} = 8,\qquad c = \underbrace{2}_{n} \cdot\, \underbrace{3^3}_{m} = 18,\] ktoré nie sú druhými mocnimai celých čísel, ale ich súčiny \(ab\), \(ac\) a \(ca\) sú druhými mocnimai celých čísel. Keďže sme zvolili najmenšie možné čísla \(a\), \(b\), \(c\), tak aj ich súčet je najmenší možný. Sú to teda čísla, ktoré Jožo hľadá.