Zadanie

Po niekoľkých prechádzkach si Vodička všimol, že vždy skončil v Rýne, to je taká veľká Vodička. Kto by však chcel zmoknúť pri každej prechádzke? Ukážte Vodičkovi, že všetky cesty vedú do Rýna. Máme štvoruholník \(ABCD\) taký, že existuje bod \(O\) taký, že platia následujúce vzťahy: \( |\sphericalangle AOB|=|\sphericalangle BOC|=|\sphericalangle COD|=|\sphericalangle DOA|=90^\circ\). Označme \(P\) priesečník kružníc opísaných trojuholníkom \(ABO\) a \(CDO\) (rôzny od bodu \(O\)) a \(R\) priesečník kružníc opísaných trojuholníkom \(DAO\) a \(BCO\) (rôzny od bodu \(O\)). Označme \(T\) priesečník priamok \(p\), \(r\), pričom \(P\in p\), \(p\perp OP\) a \(R\in r\), \(r\perp OR\). Dokážte, že priamka \(OT\) a spojnice stredov protiľahlých strán štvoruholníka \(ABCD\) sa pretínajú v jednom bode.

Najprv si všimneme, že čo vlastne zadanie hovorí o priamkach \(AO\), \(BO\), \(CO\), \(DO\). To, že \(|\sphericalangle AOB|=90^\circ\) nám hovorí, že \(AO\perp BO\). Takisto uhly \(BOC\), \(COD\), \(DOA\) nám hovoria, že \(BO \perp CO\), \(CO\perp DO\), \(DO \perp AO\). Z toho nám jednoznačne vyplýva, že trojice bodov \(A,O,C\) a \(B,O,D\) ležia na priamkach, ktoré sú na seba kolmé. Poďme nájsť význam bodov \(P\), \(R\). Zo zadania je jasné, že štvoruholníky \(ABOP\), \(CDOP\), \(ADOR\), \(BCOR\) sú tetivové (body \(P\) a \(R\) sú definované ako body na kružniciach opísaných trojuholníkom).

Uvažujme teraz druhé priesečníky priamok \(p\), resp. \(q\) s kružnicami \(ABOP\), \(CDOP\), resp. \(ADOR, BCOR\).1 Nech sú to body postupne \(P_1\), \(P_2\), \(Q_1\), \(Q_2\). Všimnime si, že tieto body vďaka kolmostiam \(OP\perp p\) a \(OR\perp r\) sú body protiľahlé k bodu \(O\) v danej kružnici. Ale vieme, že dva rôzne priemery jednej kružnice tvoria obdĺžnik, teda štvoruholníky \(AOBP_1\), \(CODP_2\), \(DOAQ_1\), \(BOCQ_2\) sú obdĺžniky. Z toho vyplýva (z kolmosti \(AC\) a \(BD\) v bode \(O\)), že \(P_1Q_1P_2Q_2\) je tiež obdĺžnik. Taktiež vieme, že \(P_1,\,P_2,\,T \in p\) a \(Q_1,\,Q_2,\,T \in q\), a vieme aj to, že \(T\) je stred tohto obdĺžnika. Po spozorovaní toľkýchto vecí sa pustime do dôkazu žiadaného tvrdenia: Nech sú stredy úsečiek \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\) postupne \(A_0\), \(B_0\) ,\(C_0\), \(D_0\). Všimnime si, že stredy malých obdĺžnikov \(AOBP_1\), \(BOCQ_2\), \(CODP_2\), \(DOAQ_1\) sú postupne \(A_0\), \(B_0\), \(C_0\), \(D_0\), pretože sú stredom jednej z uhlopriečok. Zamyslime sa, čo vlastne spraví s bodmi \(P_1\), \(Q_2\), \(P_2\), \(Q_1\) rovnoľahlosť so stredom v bode \(O\) a koeficientom \(\frac{1}{2}\). Odpoveď je jednoduchá, prenesie ich postupne na body \(A_0\), \(B_0\), \(C_0\), \(D_0\). Tak sa priamky \(P_1P_2 \equiv p\) a \(Q_1Q_2 \equiv q\) zobrazia na priamky \(A_0C_0\) a \(B_0D_0\). A čo s ich priesečníkom? Je to obraz \(T\), teda je nutne na priamke \(OT\). Súčasne je to aj priesečník priamok \(A_0C_0\) a \(B_0D_0\). Takže sme ukázali, že priesečník dvoch priamok leží nutne na tretej priamke. A tým je tento dôkaz hotový.

Diskusia: Môže sa zdať, že je potrebný rozbor prípadov, čo sa týka konvexnosti \(ABCD\). Lenže sme nikde nevyužili žiadnu úvahu o polohe bodu \(O\) a naše pozorovania a myšlienky platia aj pre prípad nekonvexného štvoruholníka a tým je dôkaz naozaj hotový pre ľubovoľný štvoruholník \(ABCD\).

  1. Kružnicou \(KLMN\) označujeme kružnicu, ktorá je opísaná tetivovému štvoruholníku \(KLMN\).↩

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.