4. Kodaňský Matematický Šarlatán vzorové riešenie

Zadanie



Keď sa Kika vrátila z Dánska, tak vyprávala následujúcu príhodu: „V Kodani som narazila na šarlatána Mariána. Na stole mal kartovú hru Sety a chcel ma obabrať. Ja som ho však zaskočila otázkou: Koľko je platných setov, ktoré sa skladajú iba z modrých kariet.“ Aká je odpoveď na Kikinu otázku? (Ale neprezraďte to Mariánovi!)

Sety sú kartová hra. Každá setová karta má 4 vlastnosti: farbu, tvar, počet a výplň. Každá z týchto vlastností môže na karte nadobúdať tri stavy. Napríklad karta môže mať modrú, červenú alebo zelenú farbu. Príklady kariet môžete vidieť na obrázku. Balík obsahuje všetky rôzne kombinácie týchto vlastností, každú práve raz. Setom nazývame v hre takú trojicu kariet, že pre danú vlastnosť sú všetky stavy na kartách buď rovnaké, alebo rôzne. Napríklad jeden modrý prázdny trojuholník, 2 modré plné trojuholníky a 3 modré šrafované trojuholníky tvoria set (trojica na obrázku vľavo). Trojica kariet vpravo tiež tvorí set.

Na začiatok bude dobré si uvedomiť, koľko rôznych kariet vlastne obsahuje setový balíček. Keďže každá karta má práve \(4\) vlastností a každá táto vlastnosť môže nadobúdať tri rôzne stavy, tak celkový počet rôznych kariet vieme vypočítať ako \(3^4\)=\(81\).

Teda vieme, že celkový počet setových kariet je \(81\). Nás však viac zaujíma, koľko je medzi nimi modrých kariet a koľko rôznych setov z nich vieme vytvoriť. Keďže máme tri rôzne farby, modrých kariet bude presne tretina z celkového počtu, čiže \(27\).

Teraz už len potrebujeme zistiť, koľko rôznych setov vieme z týchto \(27\) rôznych kariet vytvoriť. Predstavme si, že si vyberieme z týchto \(27\) kariet ľubovoľné dve. O týchto dvoch kartách vieme, že majú rovnakú farbu (modrú). Každú zo zvyšných troch vlastností (tvar, počet, výplň) môžu mať buď spoločnú, alebo rozdielnu.

Pozrime sa teraz na nejakú konkrétnu vlastnosť týchto dvoch kariet, napríklad tvar. Máme dve možnosti:

1. Tieto dve karty majú rovnaký tvar. Aký tvar by teraz mala mať tretia karta, ktorá s nimi tvorí set? Keď sa nad tým zamyslíme, zistíme, že tiež ten istý (teda napríklad ak pôvodné dve karty boli štvorcové, aj tá tretia musí byť štvorcová, inak by netvorili set).

2. Tieto dve karty majú rozdielny tvar. Aký tvar by teraz mala mať tretia karta, ktorá s nimi tvorí set? Keď sa znova zamyslíme, zistíme, že táto tretia karta nemôže mať rovnaký tvar ako niektorá z pôvodných dvoch, inak by predsa netvorili set. To znamená, že táto karta bude mať ten tretí, nepoužitý tvar (teda napríklad ak prvá karta bola štvorcová a druhá trojuholníková, tak tá tretia musí byť určite kruhová).

Môžeme si všimnúť, že či už ide o prvú, alebo o druhú možnosť, tak pôvodné dve vybrané karty nám jednoznačne určujú tvar tej tretej karty. Pri zvyšných dvoch vlastnostiach (počet, výplň) môžeme uvažovať úplne rovnako. Preto aj počet znakov a výplň tejto tretej karty sú určené pôvodnými dvoma kartami jednoznačne. Keďže sú ale jednoznačne určené všetky vlastnosti tejto karty, aj karta samotná je určená jednoznačne.

Vieme už, že keď vyberieme ľubovoľné dve karty z daných \(27\) modrých, vieme k nim vybrať práve jednu tretiu tak, aby sme vytvorili set. Koľkými spôsobmi vieme vybrať ľubovoľné \(2\) karty z \(27\)? To nám presne vyjadruje kombinačné číslo \({27 \choose 2}\)=\(351\) (Ak si sa s kombinačnými číslami ešte nestretol, odporúčame doštudovať).

Teraz si už stačí len uvedomiť, že každému setu zodpovedajú tri rôzne výbery \(2\) kariet. (Majme napríklad set pozostávajúci z kariet \(A\), \(B\) a \(C\). Tomuto setu zodpovedajú výbery: \(AB\), \(AC\) a \(BC\).)

Aby sme dostali celkový počet modrých setov, musíme ešte číslo \(351\) predeliť tromi, čím dostaneme finálny počet modrých setov \(117\).

Správna odpoveď na Kikinu otázku je \(117\).