Zadanie
Kubko sa registruje na internetovú stránku. Aby dokázal, že nie je robot, musí nájsť úsečky rovnakej dĺžky.
V trojuholníku \(ABC\) platí \(|\sphericalangle BAC| = 60^\circ\). Nech \(N\) je priesečník priamky \(AC\) a osi strany \(AB\) a nech \(M\) je priesečník priamky \(AB\) a osi strany \(AC\). Dokážte, že \(|CB| = |MN|\).
Na to aby sme dokázali, že \(|CB|=|MN|\), môžeme napríklad dokázať, že trojuholníky \(ANM\) a \(ABC\) sú zhodné. Ľahko si hneď všimneme, že v uhle pri vrchole \(A\) sa zhodujú, pretože to je ten istý uhol. Tak a teraz to už bude trošku zložitejšie, ale poďme na to!
Úsečka a jej os sú na seba kolmé. Ak si označíme priesečník osi strany \(AB\) a strany \(AB\) ako \(X\), tak \(|\sphericalangle AXN| = 90^\circ\). V trojuholníku \(AXN\) vieme dopočítať tretí uhol ako \(|\sphericalangle ANX| = 180^\circ-90^\circ-60^\circ= 30^\circ\). Teraz sa pozrime na trojuholníky \(AXN\) a \(BXN\). Stranu \(XN\) majú spoločnú. Body \(X\) a \(N\) ležia na osi strany \(AB\), a teda sú od bodov \(A\) a \(B\) rovnako vzdialené, z čoho vieme, že \(|AX|=|XB|\) a \(|AN|=|NB|\). Trojuholníky \(AXN\) a \(BXN\) sú zhodné, pretože sa zhodujú v troch stranách. Potom \(| \sphericalangle ABN| = 60^\circ\) a \(| \sphericalangle XNB|=30^\circ\). Môžeme si všimnúť, že veľkosť uhla \(ANB\) je tiež \(60^\circ\), pretože \(|\sphericalangle ANB| = |\sphericalangle ANX| + |\sphericalangle XNB|= 30^\circ+ 30^\circ=60^\circ\). Trojuholník \(ANB\) je rovnostranný, teda aj \(|AB|=|AN|\). Obdobné úvahy môžeme spraviť pre trojuholník \(AMC\), ktorý je tiež rovnostranný a \(|AC|=|AM|\).
Pre trojuholníky \(ANM\) a \(ABC\) platí, že \(|AB|=|AN|\), \(|AC|=|AM|\) a \(|\sphericalangle NAM| = |\sphericalangle BAC|\). Sú zhodné podľa vety \(sus\). Zhodujú sa aj dĺžky zvyšných zodpovedajúcich strán, teda \(|CB| = |MN|\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.