6. Kocky Milované Snúbencami vzorové riešenie

Môžeme sa na začiatok zamyslieť, čo by sme očakávali intuitívne – kto bude mať väčšiu šancu vyhrať. Jane má malú výhodu vďaka tomu, že hádže o 1 hod viac. Tarzan má ale tiež malú výhodu, lebo vyhráva pri rovnakom počte hláv. Vyzerá to, že obaja budú mať pravdepodobnosť výhry blízku \(\frac{1}{2}\). Môžeme dúfať, že sa výhody vyvážia a obaja budú mať rovnakú pravdepodobnosť presne \(\frac{1}{2}\). Ukáže sa, že to naozaj bude, tak si to poďme dokázať.

Uvažujme všetky možné hry, aké sa mohli odohrať. Jedna hra sa skladá z \(2019\) hodov Jane a \(2018\) hodov Tarzana, spolu \(4037\) hodov. Pri každom hode máme 2 možnosti čo padlo. Pre predstavu, všetkých možných hier je \(2^{4037}\). Chceme dokázať, že Jane a Tarzan majú rovnakú šancu vyhrať, teda, že počet hier, v ktorých vyhrá Jane, zo všetkých možných hier, je rovnaký ako počet hier, kde vyhrá Tarzan. Chceme teda všetky hry rozdeliť do dvojíc, aby v každej dvojici bola jedna víťazná hra pre Jane a druhá pre Tarzana. Tým ukážeme, že oboch typov hier je rovnako veľa. ¹

Zoberme si jednu konkrétnu hru \(A\) a chceme k nej priradiť inú hru \(B\), aby vyhral ten druhý. Ak v hre \(A\) hodil niekto veľa hláv, potrebujeme aby v hre \(B\) hodil málo hláv a naopak. Tiež potrebujeme splniť, že keď ku hre \(A\) priradíme hru \(B\), tak ku hre \(B\) musíme priradiť hru \(A\). Dobrý kandidát priraďovania je nasledovný spôsob: Predstavme si, že v každom hode by padla opačná strana mince a tým dostaneme hru \(B\). (Rozmyslite si, že takto tiež ku hre \(B\) priradíme spätne hru \(A\), takže hry budú v dvojiciach ako sme chceli.)

Označme si \(J\), \(T\) počty hláv, ktoré hodili Jane a Tarzan v hre \(A\). V hre \(B\) tým pádom hodili \(2019-J\), \(2018-T\) hláv.

Ak hru \(A\) vyhrala Jane \(J>T \Rightarrow J \geq T+1\), a teda \(2019-J \leq 2018-T\), čiže hru \(B\) vyhral Tarzan.

Ak hru \(A\) vyhral Tarzan \(J \leq T \Rightarrow J<T+1\), a teda \(2019-J>2018-T\), čiže hru \(B\) vyhrala Jane.

Vidíme, že v každej dvojici raz vyhrá Jane a raz Tarzan a tým sme hotoví. Pravdepodobnosť, že vyhrá Jane je presne \(\frac{1}{2}\).

Iné riešenie

Zoberme si situáciu, keď Tarzan aj Jane odhádzali \(2018\) hodov, pre Jane teda ostáva ešte jeden hod. Tarzan a Jane hádžu rovnako veľa krát, takže pre každého je rovnaká pravdepodobnosť, že bude mať viac hláv ako ten druhý. Ak mala Jane viac hláv, bez ohľadu na posledný hod bude mať stále viac hláv, teda vyhrá. Ak mala Jane menej hláv, posledným hodom môže prinajlepšom dorovnať počet hláv, takže tak či tak prehrá.

Ak mali Jane a Tarzan po \(2018\) hodoch rovnako veľa hláv, tak posledným hodom môže Jane buď hodiť hlavu a vyhrať alebo hodiť znak a prehrá. Ak mali Jane a Tarzan po 2018 hodoch rôzne veľa hláv, Jane vyhrala v polovici prípadov. Ak mali po 2018 hodoch rovnako veľa hláv, Jane vyhrala tiež v polovici prípadov (keď hodila v poslednom hode hlavu), takže celkovo má Jane pravdepodobnosť \(\frac{1}{2}\) na výhru.

Iné riešenie

Uvedieme ešte hlavnú myšlienku ďalšieho zaujímavého riešenia. Dá sa rozmyslieť, že hry, ktoré Jane prehrala, sú presne tie hry, keď hodila viac znakov oproti tomu, koľko znakov hodil Tarzan. Jane vždy hodí buď viac hláv ako Tarzan alebo viac znakov ako Tarzan (ale oboje nie), pričom vyhrá presne tie hry, keď hodila viacej hláv. Keďže hlava a znak sú symetrické, tak vyhrá s pravdepodobnosťou \(\frac{1}{2}\).