8. Kubka Morí Strašidlo vzorové riešenie

Najprv rozoberme ak \(|AB| = |CD|\). Nech \(Y\) je priesečník uhlopriečok \(AC\) a \(BD\). Potom sú \(k_1\) a \(k_2\) stredovo súmerné podla bodu \(Y\) a teda nutne aj ich body dotykov so stranami \(P\) a \(Q\). To znamená že \(P\), \(Q\) a \(Y\) ležia na jednej priamke.

Ďalej predpokladáme že \(|AB| \neq |CD|\). Nech \(X\) je priesečník priamok \(AD\) a \(BC\). BUNV nech \(|AB| > |CD|\), tým pádom \(k_1\) je vpísanou kružnicou \(\triangle ABX\) a \(k_2\) pripísanou \(\triangle DCX\) (V opačnom prípade je \(k_1\) pripísaná, \(k_2\) vpísaná a postup je analogický). Označme \(P'\) ako priesečník priamok \(XP\) a \(CD\). Keďže \(AB \parallel CD\) tak sú \(\triangle ABX\) a \(\triangle DCX\) podobné a teda rovnoľahlé podľa bodu \(X\), tak musí byť \(P'\) zobrazením bodu \(P\) v tejto rovnoľahlosti. To znamená, že \(P'\) je bodom dotyku kružnice vpísanej \(\triangle DCX\) a podľa známej vlastnosti musí byť stredovo súmerný s bodom \(Q\) (bod dotyku kružnice pripísanej) podľa stredu strany \(CD\), čiže musí platiť : \[\frac{|DP'|}{|P'C|} = \frac{|QC|}{|DQ|}.\] Na druhej strane, z rovnoľahlosti \(\triangle ABX\) a \(\triangle DCX\) dostávame rovnosť : \[\frac{|DP'|}{|P'C|} = \frac{|AP|}{|PB|},\] a teda musí platiť : \[\frac{|AP|}{|PB|} = \frac{|QC|}{|DQ|}.\] Rovnako ako predtým, nech \(Y\) je priesečník úsečiek \(AC\) a \(BD\). Trojuholníky \(\triangle ABY\) a \(\triangle CDY\) sú podobné, keďže nachádzame dva striedavé uhly z rovnobežiek \(AB\) a \(CD\). Tým pádom sú tieto trojuholníky rovnoľahlé podľa bodu \(Y\) a keďže body \(P\) a \(Q\) delia strany \(AB\) a \(CD\) v rovnakých pomeroch, musia byť v tomto zobrazení navzájom obrazmi, a teda nutne musia ležať body \(P\), \(Y\), \(Q\) na jednej priamke.