5. Každý Miluje Sladkosti (κ ≤ 8) vzorové riešenie

Všetky cukríky sú rovnaké. Rozdeľme si úlohu na dva prípady, keď je \(n\) párne a keď je \(n\) nepárne. Pozrime sa najprv na prípad, keď je počet cukríkov párny. Ak je \(n\) párne, tak nemôžu všetci traja dostať nepárny počet cukríkov, pretože súčet troch nepárnych čísel je nepárne číslo, čo je v spore s tým, že \(n\) je párne. Takže každý chlapec dostane párny počet cukríkov. Aby sme zaistili, že všetci dostanú párny počet cukríkov, môžeme dať cukríky do „balíčkov“ po dvoch a rozdeľovať tie. Máme \(k=n/2\) rovnakých balíčkov. Chlapci z nich môžu dostať ľubovoľne veľa, aj \(0\), ale musíme rozdeliť všetkých \(k\) balíčkov. Dajme si tieto balíčky do radu. Teraz chceme rad balíčkov rozdeliť na tri časti. Hranice medzi tromi úsekmi vyznačíme pomocou dvoch „zarážiek“. Prvý úsek dostane Ondro, druhý Dominik a tretí Tomáš. Zarážky nám jednoznačne určia, kto koľko cukríkov dostane. Zarážku môžeme dať aj na kraj (vtedy je prvý alebo posledný úsek \(0\)). Medzier, kam môžeme dať zarážku aj s okrajmi je \(k+1\).

Vezmime si prípad, keď druhý úsek, prislúchajúci Dominikovi nie je \(0\). To je presne vtedy, keď zarážky nie sú v rovnakej medzere. Spôsobov ako do týchto \(k+1\) medzier umiestniť \(2\) zarážky vyjadruje kombinačné číslo \[\binom{k+1}{2}=\frac{(k+1)k}{2}.\]

Keď Dominik nič nedostane, tak zarážky musia byť v rovnakej medzere. Všetkých medzier je \(k+1\), vyberáme jednu z nich, do ktorej dáme obe zarážky, čiže máme \(k+1\) možností.

Počet všetkých spôsobov, ako rozdeliť balíčky pri párnom \(n\) teda je \[\frac{(k+1)k}{2}+k+1=\frac{(k+1)k+2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}=\frac{(n+2)(n+4)}{8}.\]

Teraz sa pozrime na prípad, keď je \(n\) nepárne. Všetci traja nemôžu dostať párny počet cukríkov, pretože súčet troch párnych čísel je párne číslo, čo je v spore s nepárnym \(n\). Takže všetci traja chlapci musia dostať nepárny počet cukríkov a musia dostať aspoň jeden (0 je párne číslo). Každý chlapec dostane \(1\) cukrík plus nejaký párny počet cukríkov. Dajme každému chlapcovi ten jeden nutný cukrík, ktorý musí dostať. Ostane nám \(n-3\) cukríkov, čo je už párny počet. Z nich musí každý dostať tiež párny počet. Týchto \(n-3\) cukríkov rozdelíme rovnako, ako sme to urobili, keď bolo \(n\) párne. Takže pre nepárne \(n\) je rovnako veľa spôsobov ako pre párne \(n-3\), teda: \[\frac{((n-3)+2)((n-3)+4)}{8}=\frac{(n-1)(n+1)}{8}.\]

Ešte stojí za to spomenúť, že v prípade keď \(n=1\) je to rovnako ako pre \(n=-2\) nula spôsobov, pretože pri \(n=-2\) nevieme rozdeľovať záporný počet cukríkov. Takisto ak máme \(1\) cukrík, nevieme ho rozdeliť trom chlapcom tak aby mal každý nepárny počet cukríkov.