9. Kamoši Mysľou Sprznení vzorové riešenie

Predhovor

Skôr, ako sa pustíme do riešenia úlohy sa skúsme zamyslieť, čo chceme robiť. Potrebujeme nájsť konštrukciu, ako napísať správne čísla na Kubkovo čelo a potrebujeme ukázať, že s menším počiatočným počtom čísel to nie je možné. Ako však pristúpime k tej druhej časti? Ak začneme už len s dvomi číslami na tabuli, tak úloha má veľmi veľkú voľnosť. Môžeme si totiž zvoliť veľké množstvo kadejakých mnohočlenov, ktoré budú mať kadejaké, často veľmi nepekné korene. S každými ďalšími koreňmi sa nám možnosti len zväčšujú a zväčšujú a nájsť v nich poriadok sa zdá byť priam až nemožné. Neschodnosť tejto cesty by nás mohla naviesť k tomu, že by sme sa mohli posnažiť potiahnuť riešenie úlohy poriadne nízko. Teda využiť veľkú voľnosť úlohy v náš prospech a vystačiť si aj s malým počtom čísel na začiatku.

Cesta k riešeniu

Pre lepšie zoznámenie sa s úlohou sa skúsme pozrieť, aké čísla vieme dostať, keď si na Kubkovo čelo napíšeme nejaký malý počet čísel. V jednom kroku si zoberieme mnohočlen \(p(x)\) a dostaneme z neho koreň \(r\). Takéto kroky budeme skrátene zapisovať \(p(x) \rightarrow r\). Síce podľa pravidiel úlohy sa na Kubkovovm čele ocitnú aj ďalšie korene, no tie, ktoré nebudeme potrebovať budeme takto ignorovať.

Keďže iba s nulou toho moc nespravíme, tak začnime s tým, že si napíšeme dve čísla: \(0\), \(a\). Priamočiaro vieme spraviť kroky \(ax + a \rightarrow -1\), \(ax - 1 \rightarrow 1/a\). Lineárne rovnice nás ďalej nezavedú. Môžeme si skúsiť kvadratické, kde sa nám však začnú objavovať škaredé čísla. Preto sa oplatí skúsiť hľadať nejaké rozumné kroky. Ak už máme na Kubkovom čele napísané číslo \(a\), tak by bolo fajn, ak by sme vedeli dostať aj \(-a\). Potom by nám stačilo nájsť spôsob ako napísať Kubkovi na čelo iba kladné čísla. Záporné by sme si potom dorobili. Priamočiaro by to išlo v kroku \[x + a \rightarrow -a.\] Na to však musí mať Kubko na čele \(1\). Môžeme ju mu tam napísať aj rovno na začiatok – je to veľmi užitočné číslo. Nevieme si ju však nejako vyrobiť? Ak je \(a\) celé číslo, tak si ho vieme rozložiť na \(a\) jednotiek: \(a = 1 + 1 + \dots + 1\). Keďže sa jednotky pri umocňovaní nemenia, tak ju vieme dostať v kroku \[-x^a - x^{a-1} - \dots - x^2 - x + a \rightarrow 1.\]

Keďže jednotku vieme dostať vždy, keď začíname s nulou a kladným celým číslom, tak sa môžeme pozrieť na dvojku. Aké musí byť číslo \(a\), aby sme vedeli dostať číslo \(2\) na Kubkovo čelo? Skúsme spraviť podobnú úvahu ako pri jednotke. Za konštantný člen mnohočlenu zvolíme \(a\) a zvyšok vyskladáme ako \(- k_nx^n - \dots -k_2x^2 - k_1x\). Chceme teda, aby \(2\) bola koreňom rovnice \[k_nx^n + \dots + k_2x^2 + k_1x = a,\] pričom za čísla \(k_1,\, k_2,\, \dots,\, k_n\) si môžeme voliť čísla z Kubkovho čela, teda zatiaľ tam máme \(0,\, 1,\, -1\) (a ešte ďalšie). Nepripomína vám to niečo? Kde sa umocňuje dvojka a násobí nejakými koeficientmi? Tu prichádzame k hlavnej myšlienke riešenia – niečo také vieme stretnúť v dvojkovej sústave. Ak dosadíme za \(x = 2\), tak máme zápis čísla \(a\) v dvojkovej sústave, teda len ak \(a\) je párne. Napríklad ak \(a = 42\), tak \[1 \cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 1\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1 \cdot 2 = 42,\] \[\text{teda}\qquad - x^5 - x^3 - x + 42 \rightarrow 2.\] Táto myšlienka s číselnými sústavami nám stačí pre dokončenie riešenia. Takto si vieme na Kubkovo čelo dopisovať ďalšie čísla. Potrebujeme začať s takým číslom, ktoré je deliteľné každým číslom od \(1\) po \(2019\) (aby malo v každej sústave na mieste jednotiek nulu). Dobrým kandidátom je \(2019!\). Aby sme to sformalizovali, dôkaz dokončíme matematickou indukciou.

Riešenie

Na Kubkovo čelo si napíšeme \(2\) čísla: \(0\) a \(a = 2019!\). Na začiatok si dopíšeme čísla \[\begin{aligned} 2019!x + 2019! &\rightarrow -1,\\ -x^{2019!} - \dots - x^2 - x + 2019! &\rightarrow 1,\\ x + 2019! &\rightarrow -2019!.\end{aligned}\] Ďalej dokážeme, že pre všetky celé čísla \(2 \le n \le 2019\) platí nasledovné tvrdenie: Ak máme na Kubkovom čele napísané čísla \(-2019!,\, 0,\, 1,\, \dots,\, n - 1\), tak vieme na Kubkovo čelo dopísať číslo \(n\).

Číslo \(2019!\) si vieme v sústave so základom \(n\) zapísať ako \[2019! = k_rn^r + \dots + k_2n^2 + k_1n + 0,\] kde \(r \in \mathbb{N}\), \(k_1,\, k_2,\, \dots,\, k_r \in \{ 0, 1, \dots, n - 1 \}\) (to, že posledný člen je \(0\) máme vďaka tomu, že \(n \mid 2019!\)). Všetky koeficienty \(k_i\) sú menšie ako \(n\), a teda ich Kubko má na čele. Preto \(n\) vieme dostať v kroku \[k_rx^r + \dots + k_2x^2 + k_1x - 2019! \rightarrow n\] Tým sme ukázali, že s dvomi číslami vieme požadované čísla dostať. Iba s nulou to nie je možné, keďže pomocou nej nevieme vytvoriť žiaden nenulový mnohočlen.