Zadanie
Zo Seville vyplávali lode L, O a Ď. Plavili sa na západ v trojuholníkovej formácii. Zrazu si Magalhãesov pobočník Enrique de Malacca uvedomil, že sa neplavia v len tak hocijakej formácii, ale tvoria rovnostranný trojuholník. Magalhães mu to však nechcel uveriť...
Nech \(LO\check{D}\) je trojuholník. Body \(P\) a \(Q\) sú na strane \(O\check{D}\) a platí \(|OP|=|PQ|=|Q\check{D}|= |O\check{D}| / 3\). Na strane \(\check{D}L\) sú body \(R\) a \(S\) a platí \(|\check{D}R|=|RS|=|SL|=|\check{D}L| / 3\). Body \(T\) a \(U\) sú na strane \(LO\) a platí \(|LT|=|TU|=|UO|=|LO| / 3\). Body \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\), \(T\) a \(U\) sú na jednej kružnici. Pomôžte Enriquemu dokázať, že trojuholník \(LO\check{D}\) je naozaj rovnostranný.
V tomto vzoráku si spomenieme tri riešenia. Sú síce aj mnohé iné, rovnako správne, ale tieto sme vybrali na ilustráciu rôznych prístupov a rôznej použitej artilérie. Prvé riešenie je veľmi jednoduché, ale trošku pracné, prakticky sa v ňom vyskytne iba veľa a veľa uhlov. Nebudeme v ňom však využívať žiadne vedomosti, ktoré by sa neučili v škole. Druhé riešenie využije trošku pokročilejšie vedomosti, ale zato v ňom nebudú takmer žiadne uhly. No a nakoniec si ukážeme veľmi elegantné riešenie pomocou jednej trošku viac pokročilej techniky.
Všetky riešenia začneme narysovaním si trojuholníka \(LO\check{D}\) a rozdelením strán na tretiny.
Cieľ všetkých postupov je rovnaký, dokázať rovnostrannosť trojuholníka \(LO\check{D}\). Spokojní teda budeme, keď sa nám podarí dokázať buď priamo to, že všetky jeho strany sú rovnako dlhé, alebo ekvivalentne, všetky jeho (vnútorné) uhly sú rovnako veľké. Keďže zadanie nehovorí o žiadnej zo strán nič iné než o zvyšných dvoch, k spokojnosti nám bude stačiť dôkaz rovnosti len dvoch strán/uhlov, keďže vykonaním adekvátnej cyklickej zámeny dostaneme dôkaz rovnosti iných dvoch, a takéto dva dôkazy dokopy sú dôkazom rovnosti všetkých troch.
Pracnejšie riešenie
Prvé riešenie je o čosi dlhšie a o poznanie menej elegantné než zvyšné dve, ale je priamočiarejšie. Jednoducho vezmeme to, čo nám zadanie jasne hovorí a odvádzame z toho bezprostredné dôsledky.
Označme \(\lambda=\left|\sphericalangle \check{D}LO\right|\), \(\omega=\left|\sphericalangle LO\check{D}\right|\) a \(\delta=\left|\sphericalangle O\check{D}L\right|\). Možno si ľahko všimnúť, že v konštelácii zo zadania jestvuje mnoho trojuholníkov podobných trojuholníku \(LO\check{D}\). V tomto postupe využijeme tri z nich, menovite \(LTS\), \(UOP\), a \(SP\check{D}\). Napríklad trojuholník \(SP\check{D}\) je podobný s \(LO\check{D}\) podľa vety sus, lebo majú spoločný uhol a dve dvojice strán v pomere \(2/3\). Ostatné podobnosti sa dokážu analogicky. Vďaka týmto podobnostiam vieme, že \(SP\parallel LO\), \(\left|\sphericalangle LTS\right|=\omega\), a \(\left|\sphericalangle OUP\right|=\lambda\). Z prvej z vedomostí vieme určiť veľkosť (teraz už) striedavých uhlov \(\left|\sphericalangle TSP\right|=\left|\sphericalangle LTS\right|=\omega\) a \(\left|\sphericalangle UPS\right|=\left|\sphericalangle OUP\right|=\lambda\).
Zatiaľ sme vôbec nevyužili, že body \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\), \(T\) a \(U\) ležia na jednej kružnici. To (napríklad) znamená, že jestvuje bod \(W\), pre ktorý platí \(\left|SW\right|=\left|TW\right|=\left|UW\right|=\left|PW\right|\). Máme dostatočný morálny kredit na vynesenie súdu o rovnoramennosti trojuholníkov \(STW\), \(TUW\), \(UPW\), \(SPW\). Označme \(\alpha=\left|\sphericalangle WSP\right|=\left|\sphericalangle SPW\right|\) a \(\beta=\left|\sphericalangle UTW\right|=\left|\sphericalangle TUW\right|\). Tým pádom \(\left|\sphericalangle PUW\right|=\alpha+\lambda\) a \(\left|\sphericalangle STW\right|=\alpha+\omega\).
Z priamosti uhlov pri bodoch \(T\) a \(U\) dostávame sústavu rovníc: \[\alpha+\beta+2\omega=180^\circ\] \[\alpha+\beta+2\lambda=180^\circ\] Z nej vyplýva \(\lambda=\omega\), čím sa naša túžba naplnila.
Stručné riešenie
Znova budeme stavať na podobnosti trojuholníkov s trojuholníkom \(LO\check{D}\). Los tentoraz padol na dvojicu \(RQ\check{D}\) a nadčas ťahajúci \(SP\check{D}\). Vieme teda, že \(SP\parallel RQ\) a tiež, že \(S\), \(P\), \(Q\), \(R\) ležia na jednej kružnici. Obkľúčme to z druhej strany. Máme kružnicu a dve rovnobežky, ktoré ju pretínajú. Z povahy súmernosti týchto útvarov vždy jestvuje zrkadliaca os zobrazujúca kružnicu aj rovnobežky samé na seba, a to konkrétne kolmica na rovnobežky zároveň prechádzajúca stredom kružnice. Spojnica priesečníkov rovnobežiek s kružnicou na jednej strane osi (úsečka \(RS\)) bude teda rovnako dlhá ako spojnica priesečníkov na druhej strane (úsečka \(PQ\)). Vrátiac sa späť k našej úlohe možno pobadať, že táto úvaha nám hovorí \(\left|L\check{D}\right|/3=\left|SR\right|=\left|PQ\right|=\left|O\check{D}\right|/3\), teda \(\left|L\check{D}\right|=\left|O\check{D}\right|\). Zapojac úvahu z úvodu, máme fajront.
Pokročilé riešenie
Na toto riešenie potrebujeme vedieť, čo je to mocnosť bodu \(A\) ku kružnici \(k\). Vezmime si sečnicu kružnice \(k\) prechádzajúcu naším bodom \(A\). Nech pretína kružnicu \(k\) v bodoch \(B\) a \(C\). Potom mocnosť \(m\) je rovná súčinu vzdialeností bodu \(A\) od priesečníkov. Teda \(m = |AB|\cdot|AC|\).
Teraz aplikujme novo získanú vedomosť na náš trojuholník. Vezmime si vrchol \(L\) a jeho mocnosť ku kružnici \(k\) vieme vyjadriť ako \(|LS|\cdot|LR|\) a zároveň aj \(|LT|\cdot|LU|\). Čo si podľa zadania vieme upraviť na \(2|LS|^2=2|LT|^2\), teda zjavne aj \(|L\check{D}|=|LO|\).
Rovnakú úvahu aplikujeme aj na vrchol \(O\) a dostaneme, že \(|LO|=|O\check{D}|\), a teda všetky strany trojuholníka \(LO\check{D}\) majú rovnakú dĺžku, teda trojuholník je rovnostranný.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.