7. Kmeň Mäso Snoril vzorové riešenie

Ukážeme si dve riešenia – prvé bude možno trochu trikovejšie a využije tzv. stlačenie medzi štvorce (druhé mocniny), druhé bude viac priamočiare, ale bude vyžadovať viac počítania a deliteľností.

Prvé riešenie – stlačením medzi štvorce

Na úvod si uvedomme, že ak nejaký štvorec (druhú mocninu) prenásobíme iným štvorcom, opäť dostaneme štvorec. To platí nielen pre celé čísla, ale aj pre racionálne čísla. Ak teda pre nejaké racionálne \(r\) platí

\[\frac{4n-2}{n+5} = r^2,\]

môžeme rovnosť prenásobiť štvorcom \((n+5)^2\), čím dostaneme

\[(4n-2)(n+5) = r^2(n+5)^2 = (r(n+5))^2.\]

Teda aj \((4n-2)(n+5)\) je štvorcom racionálneho čísla. Navyše je to celé číslo, teda to musí byť druhá mocnina celého čísla. Ak by to totiž bola druhá mocnina nejakého zlomku, ktorý by v základnom tvare mal menovateľ aspoň \(2\), po umocnení na druhú by sme opäť dostali zlomok v základnom tvare s menovateľom aspoň \(4\), ktorý nie je celočíselný.

Táto úvaha platí aj opačným smerom, teda ak \((4n-2)(n+5)\) je štvorcom prirodzeného čísla, tak daný zlomok \((4n-2)/(n+5)\) bude štvorcom racionálneho čísla.

Výraz \[(4n-2)(n+5) = 4n^2 + 18n - 10\]

má byť teda druhá mocnina prirodzeného čísla. Poďme sa pozrieť, štvorcom akého čísla by toto číslo mohlo byť. Je to párne číslo, takže to musí byť štvorcom niečoho párneho.

\((2n)^2 = 4n^2\), čo je príliš málo, nakoľko \(n \geq 1\), a preto \(18n-10 > 0\).

Na druhej strane \((2n+6)^2 = 4n^2 + 24n + 36\), čo je zase vždy príliš veľa.

Preto platí buď \(4n^2 + 18n - 10 = (2n+2)^2\) alebo \(4n^2 + 18n - 10 = (2n+4)^2\). V prvom prípade dostávame \[\begin{aligned} 4n^2 + 18n - 10 &= (2n+2)^2, \\ 4n^2 + 18n - 10 &= 4n^2 + 8n + 4, \\ 10n &= 14,\end{aligned}\] čiže \(n\) nevyšlo celé číslo. V druhom prípade máme \[\begin{aligned} 4n^2 + 18n - 10 &= (2n+4)^2, \\ 4n^2 + 18n - 10 &= 4n^2 + 16n + 16, \\ 2n &= 26, \\ n &= 13.\end{aligned}\]

Pre \(n=13\) máme zlomok \(\frac{50}{18} = \left(\frac{5}{3}\right)^2\), ktorý je naozaj druhou mocninou. Žiadne ďalšie riešenie neexistuje.

Druhé riešenie – s deliteľnosťami a viac počítaním

Predpokladajme, že máme prirodzené \(n\) také, že daný zlomok je druhou mocninou nejakého racionálneho čísla. Keďže každé racionálne číslo sa dá zapísať ako zlomok, môžeme písať

\[\frac{4n-2}{n+5} = \left(\frac{a}{b}\right)^2,\]

kde \(a\) je nezáporné celé číslo, \(b\) je prirodzené. Navyše zlomok \(\frac{a}{b}\) si môžeme zapísať v základnom tvare, teda môžeme požadovať, aby \(a\) a \(b\) boli nesúdeliteľné, čo sa nám môže neskôr hodiť. Dostali sme rovnicu s prirodzenými číslami, takže má zmysel zbaviť sa zlomkov a skúmať nejaké deliteľnosti. \[\begin{aligned} b^2(4n-2) &= a^2(n+5) \\ 2b^2(2n-1) &= a^2(n+5)\end{aligned}\]

Môžeme si všimnúť, že ľavá strana je vždy párna, a tak aj pravá strana musí byť párna. Ak by \(n\) bolo párne, \(n+5\) by bolo nepárne, takže \(a\) by muselo byť párne. Potom \(a^2\) by bolo deliteľné \(4\) a (keďže \(2n-1\) je nepárne) \(b^2\) by bolo párne, a teda aj \(b\) by muselo byť párne. Čísla \(a\) aj \(b\) však nemôžu byť párne zároveň, pretože sme si vzali zlomok \(\frac{a}{b}\) v základnom tvare. Preto \(n\) musí byť nepárne, teda tvaru \(2k+1\) pre nejaké nezáporné celé \(k\). Dosaďme toto vyjadrenie do rovnice a upravujme: \[\begin{aligned} 2b^2(4k+2-1) &= a^2(2k+6),\\ b^2(4k+1) &= a^2(k+3),\\ 4kb^2 + b^2 &= ka^2 + 3a^2,\\ 4kb^2-ka^2 &= 3a^2-b^2, \\ k(4b^2-a^2) &= 3a^2-b^2, \\ k(2b-a)(2b+a) &= 3a^2-b^2.\end{aligned}\]

Pre akékoľvek nenulové číslo platí, že ak delí jednu stranu rovnosti, potom delí aj druhú. Máme teda \(2b-a \mid 3a^2-b^2\) a analogicky aj \(2b+a \mid 3a^2-b^2\). Predpokladáme pritom, že \(2b-a\) je nenulové (\(2b+a\) nikdy nemôže byť \(0\)).

Navyše nám platí, že \(b\) je nesúdeliteľné s číslami \(2b+a\) aj \(2b-a\), pretože ak by nejaké prvočíslo delilo \(b\) aj \(2b \pm a\), delilo by \(2b\) a tým pádom aj \(a\), čo je spor s nesúdeliteľnosťou \(a\) a \(b\). Preto ak \(2b \pm a\) delí \(bx\) pre nejaké \(x\), musí deliť aj \(x\). S obomi deliteľnosťami teraz môžeme postupovať obdobne: \[\begin{aligned} 2b-a &\mid 3a^2-b^2 & 2b+a &\mid 3a^2-b^2 \\ 2b-a &\mid (3a^2-b^2) + 3a(2b-a) & 2b+a &\mid (3a^2-b^2) - 3a(2b+a) \\ 2b-a &\mid 6ab-b^2 = b(6a-b) & 2b+a &\mid -6ab-b^2 = b(-6a-b)\\ 2b-a &\mid (6a-b) + 6(2b-a) = 11b & 2b+a &\mid (-6a-b) + 6(2b+a) = 11b \\ 2b-a &\mid 11 & 2b+a &\mid 11\end{aligned}\]

Vieme, že \(b \geq 1\) a \(a \geq 0\), takže \(2b+a \geq 2\) a zároveň je to deliteľ \(11\), teda musí platiť \(2b+a=11\). Aj \(2b-a\) je deliteľ \(11\) (tentokrát však môže byť aj záporný), takže \(2b-a \in \{-11,\ -1,\ 1,\, 11\}\). Potom

\[4b = (2b-a) + (2b+a) = 11+(2b-a) \in \{0,\ 10,\ 12,\ 22\},\]

\(4b\) je kladné číslo deliteľné \(4\), teda jeho jediná možná hodnota je \(12\). Takže máme \(b=3\) a \(a=11-2b=5\). Z vyjadrenia

\[k(4b^2-a^2) = 3a^2-b^2\]

máme

\[k = \frac{75-9}{36-25} = \frac{66}{11} = 6,\]

a teda \(n=2k+1=13\). Uvedený postup však nemôžeme použiť v jednom špeciálnom prípade, a to v prípade, kedy \(2b-a=0\), pretože uvažované deliteľnosti by boli deliteľnosti nulou. To by však znamenalo, že \(b=1\) a \(a=2\), pretože \(a\) a \(b\) stále musia byť nesúdeliteľné. Zároveň by sme mali \(k(4b^2-a^2) = 0 = 3a^2-b^2\), druhá rovnosť však pre \(b=1\) a \(a=2\) neplatí.

Žiadne nové riešenie sme teda nezískali a jediné riešenie úlohy je číslo \(n=13\).