Zadanie
Ostávalo uloviť už len posledného mladého mamuta a činnosť mamutobijeckej ligy by bola korunovaná úspechom. Tento posledný sa však nesprával racionálne ako ostatné, ale bežal po kružnici. Aby ho lovci dobehli, rozhodli sa upustiť od svojich zásad a bežať po tetive. Bude to však stačiť? Podarí sa lovcom uloviť posledného mladého mamuta?
Daný je trojuholník \(ABC\) s kružnicou \(k\) jemu opísanou. Ďalej vnútri trojuholníka \(ABC\) leží bod \(P\). Priamky \(AP\), \(BP\) a \(CP\) pretínajú kružnicu \(k\) postupne v bodoch \(D\), \(E\) a \(F\), pričom bod \(D\) je rôzny od bodu \(A\), bod \(E\) rôzny od bodu \(B\) a bod \(F\) rôzny od bodu \(C\). Na úsečke \(DP\) zvoľme bod \(X\). Predpokladajme, že rovnobežka s priamkou \(AB\) vedená cez bod \(X\) pretína úsečku \(PE\) v jej vnútornom bode \(Y\). Podobne predpokladajme, že rovnobežka s priamkou \(AC\) vedená cez bod \(X\) pretína úsečku \(PF\) v jej vnútornom bode \(Z\). Dokážte, že štvoruholník \(EFZY\) je tetivový.
Prvým krokom je všimnúť si, že sa v úlohe môžeme veľmi ľahko zbaviť bodov \(D,E,F\) a pracovať už iba s trojuholníkom \(ABC\) a bodmi \(P,X,Y,Z\). Ako to? Označme veľkosť uhla \(CBP\) ako \(\delta\) a veľkosť uhla \(BCP\) ako \(\epsilon\). Keďže body \(B,C,E,F\) ležia na kružnici, môžeme využiť vetu o obvodovom uhle a uvidíme, že \(|\sphericalangle CFE|=\delta\) a \(|\sphericalangle BEF|=\epsilon\).
Na to, aby \(ZYEF\) bol tetivový, musí platiť šikovné kritérium na tetivovosť štvoruholníka, ktoré je spolu s obvodovými uhlami často najpraktickejším spôsobom, ako tetivovosť dokazovať alebo ju využívať. Kritérium je založené na fakte, že štvoruholník je tetivový práve vtedy, keď súčet protiľahlých uhlov dáva \(180^{\circ}\), avšak v praxi sa ešte častejšie využíva iná forma tohto kritéria. Tá hovorí, že štvoruholník je tetivový práve vtedy, keď susedný uhol k niektorému z uhlov štvoruholníka má rovnakú veľkosť, ako jemu protiľahlý uhol (tomu uhlu zo štvoruholníka).
V kontexte našej úlohy dostaneme, že tetivovosť štvoruholníka \(EFZY\) je ekvivalentná s \(|\sphericalangle CZY|=|\sphericalangle BEF|\) a tiež s \(|\sphericalangle BYZ|=|\sphericalangle CFE|\). To sa dá vďaka rovnostiam z prvého odstavca prepísať na \(|\sphericalangle CZY|=\epsilon\) a \(|\sphericalangle BYZ|=\delta\). Wau! Takže máme vlastne dokázať, že priamka \(ZY\) je rovnobežná s priamkou \(BC\) (vďaka striedavým uhlom). Tým sme sa úspešne takmer zbavili celej kružnice a bodov \(D,E,F\) (okrem toho, že \(Z,Y\) stále musia byť také, aby ležali na úsečkách zo zadania).
V tomto zjednodušenom nastavení sa už iba treba trochu pohrať s rovnobežnosťami zo zadania, ktoré sme ešte stále nevyužili. Rovnobežnosť dvoch úsečiek, ktorých vrcholy sú tak pekne do kríža prepojené, ako v našom prípade cez bod \(P\)1 (dokonca všetkých troch zainteresovaných dvojíc), je ekvivalentná s tým, že tie úsečky sú rovnoľahlé so stredom rovnoľahlosti \(P\) (v našom kontexte). Alebo, že trojuholníky tvorené stredom rovnoľahlosti a vrcholmi úsečiek sú rovnoľahlé. V tomto prípade chceme ukázať rovnoľahlosť trojuholníkov \(PYZ\) a \(PBC\).
Využijeme rovnoľahlosť trojuholníkov \(PYX\) a \(PBA\) a trojuholníkov \(PZX\) a \(PCA\), ktoré vyplývajú z rovnobežnosti priamok \(XY\) a \(BA\) a priamok \(XZ\) a \(CA\). Z týchto plynú nasledovné rovnosti: \[\frac{|PY|}{|PX|}=\frac{|PB|}{|PA|} \quad \text{a} \quad \frac{|PZ|}{|PX|}=\frac{|PC|}{|PA|}.\] Vydelením týchto dvoch rovností dostávame: \[\frac{|PY|}{|PZ|}=\frac{|PB|}{|PC|}.\] Toto je presne vyjadrenie rovnoľahlosti úsečiek \(YZ\) a \(BC\), čo sme chceli dokázať.
To, že \(P\) sa nachádza medzi úsečkami, vyplýva z predpokladu zo zadania o polohe bodov \(Y\) a \(Z\)↩︎
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.