1. Kontaminovaná-ish Marcelova Sušička vzorové riešenie

Všetky dĺžky vo vzoráku uvažujeme v jednotkách decimetrov, nebudeme ich však pre prehľadnosť písať. Dobrým začiatkom pri geometrických úlohách je nakresliť si orientačný obrázok. V tomto prípade sa pri jeho kreslení musíme zamyslieť, či bude bod \(E\) ležať naľavo alebo napravo od bodu \(F\). Odpoveď nám poskytne informácia zo zadania, že priamka \(BE\) pretína úsečku \(AD\) vo vnútornom bode, a teda bod \(E\) bude ležať napravo (skúste sa nad tým zamyslieť ak neviete prečo). Obrázok, ktorý sme dostali, nám toho veľa nehovorí, skúsme si doňho teda niečo doplniť. Konkrétne si doplníme dve kolmice, konkrétne z bodu \(E\) na stranu \(AB\) a z bodu \(F\) na stranu \(CD\). Body, kde sa sa tieto kolmice pretnú so stranami \(AB\) a \(CD\), si označíme postupne \(G\) a \(H\).

Dostali sme takto dva pravouhlé trojuholníky \(BEG\) a \(DFH\). Podľa zadania sú úsečky \(BE\) a \(DF\) rovnobežné, preto uhly \(GBE\) a \(HDF\) budú mať rovnakú veľkosť (ak neviete prečo to platí, skúste si to dokázať). Z toho vyplýva, že trojuholníky \(BEG\) a \(DFH\) budú mať rovnako veľké vnútorné uhly, a preto budú podľa vety \(uu\) podobné. Vieme, že pomer dĺžok strán \(BE\) a \(DF\) je \(9:8\). Kvôli podobnosti trojuholníkov bude aj pomer dĺžok strán \(EG\) a \(FH\) rovnako \(9:8\). Súčet dĺžok týchto strán je \(|BC| = 10\). Tú keď si rozdelíme v pomere \(9:8\), dostaneme dĺžky strán \(|EG| = 90/17\) a \(|FH| = 80/17\).

Pomocou Pytagorovej vety teraz ľahko dorátame dĺžky strán \(BG\) aj \(DH\). Začnime s dĺžkou strany \(BG\):

\[\begin{aligned} |BG|^2+|EG|^2&=|BE|^2,\\ |BG|^2+\left(\frac{90}{17}\right)^2&=81,\\ |BG|&=\sqrt{81-\left(\frac{90}{17}\right)^2}.\end{aligned}\]

Nie je to príliš pekná forma. Sériou úprav ju môžeme (ale nemusíme) zjednodušiť na formu \(27\sqrt{21}/17\). Dĺžku \(DH\) už takto rátať nemusíme, môžeme si ju vyjadriť podľa podobnosti trojuholníkov ako \(({8}/{9})({27\sqrt{21}}/{17})\). Poďme teraz zistiť dĺžku \(|EF|\). Úsečka \(EF\) je rovnobežná so stranou \(AB\). Po krátkom pohľade na obrázok situácie si všimneme, že \(|EF| = |BG|+|DH|-|AB|\). Všetky tieto dĺžky poznáme, tak už si to len nejak vyjadrime:

\[\begin{aligned} |EF| &= \frac{27\sqrt{21}}{17}+\frac{8}{9}\frac{27\sqrt{21}}{17}-12,\\ |EF| &= 3\sqrt{21}-12,\\ |EF| &\approx 1.7477.\end{aligned}\]

Približnú dĺžku \(EF\) získame, keď výraz, ktorý sme dostali, hodíme do kalkulačky. Rovnakú hodnotu dostaneme, aj ak sme výraz pre dĺžku \(BG\) nezjednodušili.

Iné riešenie

Keď si nakreslíme obrázok podľa zadania, môžeme si povzdychnúť, že úsečky \(BE\) a \(DF\) tam len tak nejako „trčia“ dovnútra obdĺžnika a potrebujeme k nim dokresľovať kadejaké trojuholníky aby sme v tom našli zmysel. Je však aj iný spôsob ako si obrázok zjednodušiť, aby sa nám s ním lepšie pracovalo. Keď budeme obdĺžnik \(ABCD\) postupne vodorovne „naťahovať“, teda zväčšovať dĺžku strán \(AB\) a \(CD\), časom sa nám body \(E\) a \(F\) stretnú (keď zachováme všetky ostatné dĺžky v zadaní). Toto platí, lebo úsečka \(EF\) je rovnobežná so stranou \(AB\). Dĺžka, o ktorú by sme museli predĺžiť \(AB\), aby sa body \(E\) a \(F\) stretli, je pôvodná dĺžka \(EF\), ktorú sa snažíme zistiť.

Môžeme si teda mierne modifikovať zadanie: dĺžka \(|AB|\) nebude \(12\), ale \(12 + |EF|\). Keďže úsečky \(BE\) a \(DF\) sú rovnobežné, budú v modifikovanom zadaní tvoriť úsečku \(BD\) a jej dĺžka bude \(17\). Obrázok, ktorý vznikne po roztiahnutí obdĺžnika \(ABCD\), je na pohľad oveľa krajší. Skladá sa totiž z dvoch pravouhlých trojuholníkov, ktorých dĺžky strán až na jeden menší úsek poznáme. Keď si napíšeme Pytagorovu vetu pre trojuholník \(ABD\), vieme si z nej vyjadriť dĺžku \(|EF|\) ktorú sa snažíme zistiť:

\[\begin{aligned} |AB|^2+|AD|^2&=|BD|^2,\\ (12+|EF|)^2+100&=289,\\ (12+|EF|)^2&=189,\\ 12+|EF|&=\sqrt{189},\\ |EF|&=\sqrt{189}-12,\\ |EF|&=3\sqrt{21}-12.\end{aligned}\]