Zadanie
Na mramorovom námestí uprostred Atén sa chlapci, odbremenení od bežných každodenných starostí a hrozby blížiacej sa vojny, hrali tradičnú hru περιδέραιο. Hra spočívala v šikovnom vrhu farebných guľôčok po zemi na cieľ.
V koženom vrecúšku bolo pred začiatkom hry \(100\) guľôčok troch farieb – niektoré boli červené, iné zelené a zvyšné modré. Ako prvý bol na rade Markos, ktorý si na svoj vrh vybral \(30\) červených, \(10\) zelených a \(20\) modrých guľôčok. Žiaľ, počas vrhu sa mu podarilo omylom hodiť \(5\) guľôčok do kanálu. Zahanbený rýchlo pozbieral zvyšné guľôčky a vrátil ich späť do vrecúška. Ďalší v poradí bol Mikael. Vytiahol z vrecúška \(8\) červených, \(18\) zelených a \(48\) modrých guľôčok. Mikael si všimol, že Markos stratil \(5\) guľôčok, nevedel však narýchlo povedať, akej farby boli. Viete niečo povedať o farbe niektorých zo stratených guľôčok?
Najprv ukážeme, že sme stratili jednu červenú a následne ukážeme, že ostatné mohli byť ľubovoľné.
Čo vieme povedať o počte napríklad červených guľôčok? Na začiatku ich bolo vo vrecku aspoň \(30\), inak by ich Markos nemohol vytiahnuť. Potom mohol nejaké stratiť, ale vieme, že Mikael ich vytiahol \(8\), takže aj keby stratil \(5\) červených, nie je s tým žiadny problém. Čo so zelenými a modrými? V oboch farbách Mikael vytiahol viac guľôčok ako Markos hádzal. Takže vo vrecku ostalo aspoň \(18\) zelených a \(48\) modrých. Ale to znamenalo, že na začiatku ich bolo tiež aspoň \(18\) zelených a aspoň \(48\) modrých. Keď sa teda pozrieme na začiatočné podmienky, koľko ktorých guľôčok bolo, tak dostaneme, že na začiatku bolo aspoň \(30\) červených, aspoň \(18\) zelených a aspoň \(48\) modrých. To je dokopy \(30+18+48=96\). Ak by Markos zapatrošil guľôčky iba zelenej a modrej farby, tak s istotou vieme povedať, že by sa po Mikaelovom hode nachádzalo vo vrecku \(30\) červených, \(18\) zelených a \(48\) modrých a navyše \(5\) je stratených. Dokopy \(101\) guľôčok. Čo nemohlo nastať. Preto musel Markos zahodiť aspoň jednu červenú guľôčku.
Teraz by sme mali ukázať, že zvyšné \(4\) stratené, o ktorých sme zatiaľ nič nepovedali, môžu byť vskutku hociktoré. Pri hádzaní guľôčok Markos hádzal \(30\), \(10\), \(20\), teda všetky počty sú väčšie ako \(4\), a teda fyzicky mohol zapatrošiť tie guľôčky. Keby napríklad hádzal \(3\) zelené a stratil \(4\) celkovo, tak neexistuje možnosť ako by stratil \(4\) zelené. Takže takto sa nám nepodarí nič ukázať. Ale vieme, že musíme brať do úvahy všetky možnosti počtu zapatrošených guľôčok.
Okey, teraz by sme mohli vymenovať všetky možnosti červených, zelených a modrých a povedať, že to sedí. To je ale otravne dlhé. Pamätáte si ešte, že keď sme hovorili o aspoň \(30\) červených, aspoň \(18\) zelených a aspoň \(48\) modrých guľôčkach nazačiatku hádzania, tak sme vlastne povedali, že zvyšné \(4\) guľôčky mohli mať ľubovoľnú farbu? Nech teda Markos stratil guľôčky farieb \(w,x,y,z\), čo mohli byť presne tie štyri neznáme potvory z počiatku – tie mohli byť tiež farieb \(w,x,y,z\), nech už sú to akékoľvek farby (na poradí nezáleží). Takže po Markovom hode je s určitosťou presne \(29\) červených, \(18\) zelených a \(48\) modrých. Dokopy \(95\) guľôčok. A keďže táto možnosť mohla nastať (akokoľvek nepravdepodobná, ale mohla nastať), tak nevieme povedať nič o tom, ktoré farby \(w,x,y,z\) sú.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.