5. Kadekde Mysliteľ Škriabal (κ≤8) vzorové riešenie

Zapíšme si najprv zadanú sústavu rovníc v tvare troch rovníc:

\[ \begin{split} \alpha^2+\beta^2+\gamma&=\alpha^2+\beta+\gamma^2, \\ \alpha^2+\beta^2+\gamma&=\alpha+\beta^2+\gamma^2, \qquad (0)\\ \alpha^2+\beta+\gamma^2&=\alpha+\beta^2+\gamma^2. \end{split}\]

Pri riešení takýchto sústav sa vždy oplatí skúsiť sčítavanie alebo odčítavanie strán jednotlivých rovníc, alebo rovníc samotných. Inak tomu nie je ani tu. Začnime teda tým, že v prvej rovnici odčítame pravú stranu od ľavej:

\[\begin{split} \alpha^2+\beta^2+\gamma&=\alpha^2+\beta+\gamma^2, \\ \beta^2+\gamma-\beta-\gamma^2&=0. \end{split}\]

To začína vyzerať celkom sľubne. Bystré oko si všimne, že sa v rovnici vyskytuje rozdiel dvoch štvorcov. Skúsme to teda využiť v náš prospech:

\[\begin{split} \beta^2-\gamma^2-(\beta-\gamma)&=0, \\ (\beta-\gamma)(\beta+\gamma)-(\beta-\gamma)&=0, \\ (\beta-\gamma)(\beta+\gamma-1)&=0. \end{split}\]

Rovnice v zadaní sú si veľmi podobné. Môžeme si všimnúť, že keby ľubovoľným spôsobom povymieňame \(\alpha\), \(\beta\) a \(\gamma\), zadaná sústava rovníc by ostala nezmenená. Sústava rovníc s takouto vlastnosťou sa nazýva symetrická. Vďaka tomu môžeme aplikovať predošlý postup na ľubovoľnú z rovníc \((0)\), čím sa vieme dopracovať k nasledovným rovniciam:

\[\begin{aligned} (\alpha-\beta)(\alpha+\beta-1)&=0, \qquad &(1) \\ (\alpha-\gamma)(\alpha+\gamma-1)&=0, \qquad &(2) \\ (\beta-\gamma)(\beta+\gamma-1)&=0.\qquad &(3) \end{aligned}\]

To, že sme dokázali upraviť rovnice na súčin dvoch členov rovný nule nám značne uľahčuje prácu. Vieme, že každá z rovníc bude platiť práve vtedy, keď aspoň jedna zo zátvoriek sa rovná nule.

Z rovnice \((1)\) vieme, že musí platiť aspoň jedna z nasledovných rovníc:

\[\begin{aligned} \beta&=\alpha, \qquad &(1.A) \\ \beta&=1-\alpha. \qquad &(1.B) \end{aligned}\]

\(\bf{(1.A):}\) Túto rovnosť by sme ďalej vedeli dosadiť do rovnice \((3)\). Ľahko si overíme, že by nás to priviedlo k rovnici \((2)\).

\(\bf{(1.B):}\) Rovnako aj túto rovnosť vieme dosadiť do rovnice \((3)\):

\[\begin{split} (1-\alpha-\gamma)(1-\alpha+\gamma-1)&=0, \\ (1-\alpha-\gamma)(-\alpha+\gamma)&=0, \\ (\alpha+\gamma-1)(\alpha-\gamma)&=0. \end{split}\]

Znova nás to však privedie k rovnici \((2)\).

Aby sme vedeli pokračovať ďalej v riešení, potrebujeme poznať riešenie rovnice \((2)\). To však už v podstate vieme, pretože je analogicky podobné riešeniu \((1)\). Musí platiť aspoň jedno z:

\[\begin{aligned} \gamma&=\alpha, \qquad &(2.A)\\ \gamma&=1-\alpha. \qquad &(2.B) \end{aligned}\]

Riešenie sa nám teda znova vetví na dve časti. Máme štyri, ktoré musíme preveriť:

\(\bf{(1.A-2.A):}\) Platí \(\beta=\alpha\) a \(\gamma=\alpha\), čiže \(\alpha=\beta=\gamma\). Nakoľko hľadáme len kladné riešenia, prvým riešením je trojica \((\alpha, \alpha, \alpha),\) \(\alpha \in \mathbb{R^+}\).

\(\bf{(1.A-2.B):}\) Platí \(\beta=\alpha\) a \(\gamma=1-\alpha\). V tomto prípade musíme dávať pozor na to, kedy sú všetky tri premenné kladné. Musí platiť \(\alpha>0\) a zároveň \(1-\alpha>0\), teda \(\alpha<1\).

Druhým riešením je trojica \((\alpha, \alpha, 1-\alpha),\) \(\alpha \in (0,1)\).

\(\bf{(1.B-2.A):}\) Platí \(\beta=1 - \alpha\) a \(\gamma=\alpha\). Podobne ako v predošlom prípade, treba si dať pozor, aby boli všetky premenné kladné. Tretím riešením v tomto prípade je trojica \((\alpha, 1-\alpha, \alpha),\) \(\alpha \in (0,1)\).

\(\bf{(1.B-2.B):}\) Platí \(\beta=1 - \alpha\) a \(\gamma=1 - \alpha\). Štvrtým riešením je trojica \((\alpha, 1-\alpha,1 - \alpha),\) \(\alpha \in (0,1)\).

Ľahko sa presvedčíme, že všetky štyri typy riešení, ktoré sme našli, naozaj vyhovujú, a to tak, že ich dosadíme do pôvodnej sústavy rovníc.