7. Kompletne Márny Sizyfos vzorové riešenie

Zo zadania vieme, že platia nasledovné vzťahy: \[\begin{aligned} 2a_1&\leq a_0+a_2, \\ 2a_2&\leq a_1+a_3, \\ &\vdots\\ 2a_n&\leq a_{n-1}+a_{n+1}. \end{aligned}\]

Sčítajme všetky nerovnice, dostaneme \(2(a_1+\dots+a_n)\leq a_0+a_1+a_n+a_{n+1}+2(a_2+\dots+a_{n-1})\), odkiaľ odčítaním rovnakých členov dostávame \(a_1+a_n\leq a_0+a_{n+1}\). To je cool nerovnosť. S touto nerovnosťou už máme prakticky vyhraté, zároveň hlavný trik už máme za sebou.

Uvedomme si, že platí aj \(a_2+a_n\leq a_1+a_{n+1}\), ktorú dostaneme tak, že v pôvodnom veľkom súčte nevezmeme prvý riadok. Všeobecnejšie, rovnako aj \(a_k+a_l\leq a_{k-1}+a_{l+1}\) pre ľubovoľné \(k \leq l \leq n\), čo dostaneme tak, že vezmeme iba súčet rovníc \[\begin{aligned} 2a_k&\leq a_{k-1}+a_{k+1}, \\ &\vdots\\ 2a_l&\leq a_{l-1}+a_{l+1}.\end{aligned}\]

Intuitívne, čím ďalej sú od seba dva indexy, tým väčší súčet dávajú. A nás zaujíma \(a_0+a_{n+1}\). Skúsme pomocou nerovností z minulého kroku dosiahnuť súčet \(a_1+\dots + a_n\). Už stačí iba ľahká úvaha a dostaneme nasledovné nerovnosti (pre nepárne \(n\) je rozdiel iba v tom, že v strede nebude "stredný" člen): \[\begin{aligned} a_{0}+a_{n+1}&\geq a_1+a_n, \\ a_{0}+a_{n+1}\geq a_1+a_n &\geq a_{2}+a_{n-1},\\ &\vdots\\ a_{0}+a_{n+1}\geq a_1+a_n \geq \dots &\geq a_{k}+a_{n-k+1},\\ &\vdots\\ a_{0}+a_{n+1}\geq a_1+a_n \geq \dots &\geq a_{n/2}+a_{n/2},\\ a_{0}+a_{n+1}\geq a_n+a_1\geq \dots &\geq a_{n/2+1}+a_{n/2-1},\\ &\vdots\\ a_{0}+a_{n+1} &\geq a_{n}+a_{1}.\end{aligned}\] Po sčítaní všetkých nerovností dostávame \(n(a_0+a_{n+1})\geq 2(a_1+\dots +a_n)\) , čo je skutočne to, čo sme chceli dokázať.

Iný postup: Iba v rýchlosti spomenieme iné, netradičné riešenie. Ak si body \(a_0, a_1, a_2, \dots\) usporiadame do grafu funkcie, ktorej \(f(0)=a_0,\ f(1)=a_1,\ f(2)=a_2,\ \dots\) a spojíme tieto body úsečkami (tj. interpolujeme lineárnymi funkciami), tak plocha nad grafom je z predpokladov konvexná (stačí si to nakresliť, aby to bolo uveriteľné, no tento krok si treba poriadne rozmyslieť a zdôvodniť). Z vlastností konvexných útvarov plynie aj to, že úsečka spájajúca body \([0, a_0], [n+1, a_{n+1}]\) leží celá nad všetkými bodmi \([1, a_1], \dots, [n, a_{n}]\), teda jej stred leží nad ich priemerom (body priemerujeme tak, že zvlášť spriemerujeme \(x\)-ové súradnice, a zvlášť \(y\)-ové súradnice). Požadovanú nerovnosť dostaneme ako nerovnosť medzi \(y\)-ovými súradnicami spomínaného stredu úsečky a priemeru.