3. Kognitívna Matematická Spoločnosť vzorové riešenie

Na riešenie tejto úlohy použijeme známy vzorec pre súčet prvých \(i\) kladných celých čísel

\[\label{jeden} 1+2+3+\dots+(i-1)+i=\frac{i(i+1)}{2}.\]

Tento vzorec môžeme využiť, aby sme zistili súčet čísel od \(n\) po \(n+k-1\). Prečo práve \(k-1\)? Všimnime si, že čísel od \(n\) po \(n+k-1\) je práve \(k\). Stačí nám už teda nájsť iba najvyššiu možnú hodnotu \(k\), aby sme zistili odpoveď na otázku zo zadania.

Pomocou [jeden] vieme vypočítať súčet čísel od \(1\) po \(n+k-1\). Nás však zaujíma súčet od \(n\) po \(n+k-1\), a nie od \(1\). Nestačí nám teda použiť [jeden] iba raz. Budeme musieť od súčtu čísel od \(1\) po \(n+k-1\) odčítať súčet čísel od \(1\) po \(n-1\):

\[\begin{aligned} 1 + 2 + \dots + (n - 2) + (n - 1) &= \frac{(n-1)n}{2}, \\ 1 + 2 + \dots + (n - 1) + n + (n + 1) + \dots + (n+k-2) + (n+k-1) &= \frac{(n+k-1)(n+k)}{2}, \\ \frac{(n-1)n}{2} + n + (n + 1) + \dots + (n+k-2) + (n+k-1) &= \frac{(n+k-1)(n+k)}{2}, \\ n + (n + 1) + \dots + (n+k-2) + (n+k-1) &= \frac{(n+k-1)(n+k)}{2} - \frac{(n-1)n}{2}, \\ \frac{(n+k-1)(n+k)}{2}-\frac{(n-1)n}{2}&=1000, \\ n^2+2nk+k^2-n-k-\left(n^2-n\right)&=2000, \\ 2nk+k^2-k&=2000, \\ k\left(2n+k-1\right)&=2000.\end{aligned}\]

Môžeme si všimnúť, že hľadáme dve kladné celé čísla, ktorých súčin je \(2000\). Aby toto tieto čísla spĺňali, musia byť obe deliteľmi \(2000\). Ďalej môžeme pozorovať, že \(k < 2n + k - 1\). Delitele čísla \(2000\) teda môžeme priradiť k týmto dvom činiteľom nasledovne:

Keďže chceme nájsť čo najväčšie možné \(k\), skúsime za \(k\) dosádzať postupne najvyššie možné hodnoty. Ak \(k=40\), potom \(2n+k-1=50\), čo by znamenalo, že \(n=\frac{11}{2}\). My však vieme, že \(n\) musí byť celé číslo, teda \(k\neq40\). Ďalšia možnosť je \(k=25\). Potom \(2n+k-1=80\), z čoho \(n=28\). Tieto hodnoty vyhovujú všetkým podmienkam zo zadania, našli sme teda riešenie.

Dante mohol mať najviac \(25\) po sebe idúcich kladných celých čísel: \[28+29+30+\dots+50+51+52=1000.\]

Pozn.: Na vzorec sa dalo prísť aj nasledovne. Vypíšeme si súčet čísel od \(n\) po \(n-k+1\). Všimnime si, že sa v ňom \(n\) nachádza práve \(k\) krát a zvyšné členy tvoria súčet čísel od \(1\) po \(k-1\):

\[\begin{aligned} n+(n+1)+(n+2)+\dots+(n+k-2)+(n+k-1)&=1000, \\ kn+1+2+\dots+(k-2)+(k-1)&=1000, \\ kn+\frac{(k-1)k}{2}&=1000, \\ 2nk+k^2-k&=2000 \\ k\left(2n+k-1\right)&=2000.\end{aligned}\]