Zadanie

„No počkať, čože ste to vy? Zajali 47 dobrých Američanov? Tak to teda nie!“ zazneli posledné slová z úst skôr, ako ho Indiáni ovalili tomahavkom a zviazaného hodili do típí. Keď sa Sheriff Pepper prebral, vydesil ho pošahaný muž, ktorý si kreslil na zem obrázky. Chcel vedieť, koľko kože mu ostane, až ho tí divosi oskalpujú...

V štvoruholníku \(ABCD\) označíme \(K,\, L,\, M,\, N\) postupne stredy strán \(AB,\, BC,\, CD,\, DA\). Platí, že \[|AL| = |AM| = |BM| = |BN| = |CN| = |CK| = |DK| = 47.\] Dokážte, že aj \(|DL| = 47\).



K tejto úlohe máme videonávod.

Skôr než sa pustíme do vytrvalého počítania uhlov a iných vecí, je dobré sa zamyslieť, ako náš štvoruholník \(ABCD\) môže vyzerať. Ak skúsime nakresliť obrázok, v ktorom by všetko zo zadania platilo, tak sa nám to pri všeobecnom štvoruholníku nepodarí. Rovnosti zo zadania by isto platili, ak by štvoruholník \(ABCD\) bol štvorec. Tak sa vyberme tým smerom a poďme zisťovať k tomu potrebné vlastnosti štvoruholníka \(ABCD\).

Strany AB a CD sú rovnobežné

Najprv ukážme, že strany \(AB\) a \(CD\) sú rovnobežné. Vezmime si trojuholník \(ABM\). Vieme, že strany \(AM\) a \(BM\) sú rovnako dlhé, preto je tento trojuholník rovnoramenný. Úsečka \(KM\) je jeho výškou, a preto je kolmá na základňu \(AB\). Podobne si môžeme zobrať trojuholník \(CDK\), ktorý je tiež rovnoramenný a jeho výška, tiež úsečka \(KM\), je teda kolmá aj na základňu tohto trojuholníka, teda na úsečku \(CD\).

Ak je tá istá úsečka \(KM\) kolmá na úsečky \(AB\) a \(CD\), tak musia byť úsečky \(AB\) a \(CD\) rovnobežné. Úsečka \(KM\) ich navyše delí na \(2\) zhodné časti (nezabúdajme, že body \(K\) a \(M\) sú stredmi strán AB a CD) V tomto momente sme ukázali, že náš štvoruholník \(ABCD\) je vlastne lichobežník (má rovnobežné základne \(AB\) a \(CD\)) s výškou \(KM\).

Strany AB a CD majú rovnakú dĺžku

Teraz poďme ukázať, že úsečky \(AB\) a \(CD\) sú aj rovnakej dĺžky. Vieme, že výška na základňu v rovnoramennom trojuholníku delí trojuholník na dva zhodné pravouhlé trojuholníky. Naše rovnoramenné trojuholníky \(ABM\) a \(CDK\) teda ich výška (úsečka \(KM\)) delí na \(4\) pravouhlé trojuholníky: \(AKM\), \(BKM\), \(CKM\) a \(DKM\). Zo zadania vieme, že \(|AM| = |BM| = |DK| = |CK|\), teda, že prepony všetkých štyroch trojuholníkov majú rovnakú dĺžku. Ich ďalšia strana je práve zdieľaná úsečka \(KM\). A ešte vieme, že všetky trojuholníky sú pravouhlé. Teda vieme, že sa všetky štyri trojuholníky zhodujú v dvoch stranách a v uhle oproti väčšej z nich, a preto sú zhodné. Ak sú ale pravouhlé trojuholníky zhodné, tak sú aj pôvodné rovnoramenné trojuholníky zhodné, a teda majú rovnaké dĺžky základní. Preto o základniach platí \(|AB|=|CD|\).

ABCD je obĺžnik a záver

Keďže body \(A\), \(D\) sú rovnako vzdialené od úsečky \(KM\), tak úsečka \(AD\) je rovnobežná s \(KM\). Z rovnakého dôvodu je s \(KM\) rovnobežná aj úsečka \(BC\). Úsečky \(BC\) a \(AD\) sú tak rovnobežné a dokoca aj kolmé na základne \(AB\), \(CD\). Tým sme ukázali, že náš štvoruholník \(ABCD\) je vlastne obdĺžnik.

Pozorný riešiteľ si všimne, že už teraz vieme úlohu dokončiť. Trojuholníky \(NLD\) a \(NLA\) sú pravouhlé so zhodnými odvesnami. Preto podľa vety \(sus\) sú zhodné. Tým dostávame, že \(|DL| = |AL| = 47\), čo sme chceli dokázať.

ABCD je štvorec

Ukazovať, že \(ABCD\) je štvorec nie je teda v tomto momente potrebné, no pre záujemcov ukážeme aj to. Označme si \(|AB| = |CD| = 2a\) a \(|BC| = |DA| = 2b\). Z Pytagorových viet pre trojuholníky \(KBC\) a \(CDN\) dostávame \[|CK|^2 = a^2 + 4b^2 = 4a^2 + b^2 = |CN|^2,\] z čoho po úprave dostaneme \(a = b\). Teda \(ABCD\) je naozaj štvorec.

To, že vo štvorci nám už platí \(|DL| = |AL|\), nechávame na vás. Dá sa to dostať rovnako, ako pri obdĺžniku.

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.