3. Kráľ Mastí Scestovaného vzorové riešenie

Tento vzorák si môžete pozrieť aj vo videopodobe: https://youtu.be/wO84uneceV4

V úlohách, kde vystupujú stredy strán sa oplatí hľadať stredné priečky trojuholníkov. (Stredná priečka je úsečka spájajúca stredy dvoch strán trojuholníka a z podobnosti trojuholníkov platí, že je rovnobežná s treťou stranou.) To spravíme aj v tomto riešení. Označme si priesečník výšok \(AE\) a \(BF\) ako \(Q\), priesečník priamok \(p\) a \(QE\) ako \(X\) a priesečník priamok \(q\) a \(FQ\) ako \(Y\).

Priamka \(p\) je rovnobežná s úsečkou \(BQ\), lebo obe sú kolmé na stranu \(AC\). Navyše priamka \(p\) prechádza stredom úsečky \(BE\). Preto \(MX\) je stredná priečka trojuholníka \(BEQ\), a tak bod \(X\) je v strede úsečky \(QE\). Z rovnakého dôvodu je \(NY\) strednou priečkou trojuholníka \(AFQ\) a bod \(Y\) je stredom úsečky \(QF\). V trojuholníku \(QEF\) tiež priamka \(p\) prechádza stredom strany \(QE\) a je rovnobežná so stranou \(FQ\). Takže priamka \(p\) tvorí tiež strednú priečku v trojuholníku \(QEF\) a z rovnakého dôvodu aj priamka \(q\). O stredných priečkach vieme, že sa pretínajú v strede tretej strany \(EF\). A keďže priesečník priamok \(p\) a \(q\) je práve bod \(P\), tak bod \(P\) musí byť stredom strany \(EF\). Tým sme ukázali, čo sme mali.

Iné riešenie

Ukážeme si ešte riešenie, ktoré nevyužíva stredné priečky. Obzvlášť, keď máme zadané stredy strán, tak nám vedia pomôcť zhodné, príp. podobné trojuholníky. Preto budeme také hľadať.

Na začiatok ukážeme, že bod \(X\) je stredom úsečky \(QE\). Trojuholníky \(EXM\) a \(EQB\) sú vďaka rovnobežnosti \(p\) a \(QB\) podobné podľa vety \(uu\). Ich koeficient podobnosti je \(|EM|/|EB| = 1/2\), preto \(|EX| = |EQ|/2\). Z rovnakého dôvodu je aj \(Y\) stred \(FQ\).

Z toho, že \(p \parallel FB\) a \(q \parallel AE\), dostávame vďaka súhlasným uhlom \(|\sphericalangle FYP| = |\sphericalangle YQX| = |\sphericalangle PXE|\). Ďalej máme aj to, že \(XPYQ\) je rovnobežník. Z toho dostávame \(|PX| = |YQ| = |FY|\) a \(|YP| = |QX| = |XE|\). Preto sú trojuholníky \(FYP\) a \(PXE\) zhodné podľa vety \(sus\). Tým sme dokázali, že \(|FP| = |PE|\). Pozor, ešte nie sme hotoví. Zatiaľ vieme len, že bod \(P\) je na osi úsečky \(EF\).

Ešte musíme ukázať, že bod \(P\) leží na úsečke \(EF\). Najjednoduchším spôsobom je ukázať, že \(|\sphericalangle FPE| = 180^\circ\). Vieme, že \(|\sphericalangle YPX| = |\sphericalangle PYF|\) (striedavé uhly) a \(|\sphericalangle XPE| = |\sphericalangle YFP|\) (zhodnosť trojuholníkov). Preto dostávame \[|\sphericalangle FPE| = |\sphericalangle FPY| + |\sphericalangle YPX| + |\sphericalangle XPE| = |\sphericalangle FPY| + |\sphericalangle PYF| + |\sphericalangle YFP| = 180^\circ,\] čím je náš dôkaz hotový.

Častá chyba pri riešení

Pri riešení takýchto typov úloh sa dá ľahko spraviť závažná chyba. Táto chyba sa vie zrodiť už hneď pri nakreslení obrázka. Je prirodzené si do obrázku nakresliť priamky \(p\), \(q\) a úsečku \(EF\) – veď o týchto útvaroch máme niečo ukazovať. Ak ich však nakreslíme do obrázku tak, že sa nám všetky pretnú v bode \(P\), tak si koledujeme o chybu. Túto informáciu totiž v zadaní nemáme. O bode \(P\) vieme iba to, že je priesečníkom priamok \(p\) a \(q\). Na úsečke \(EF\), tak vôbec nemusí ležať. Samotný obrázok ešte nie je chybou, avšak ľahko nás môže k chybe naviesť. Napr. môžeme unáhlene tvrdiť, že trojuholníky \(MPE\) a \(BFE\) sú podobné podľa vety \(uu\), lebo \(|\sphericalangle EMP| = |\sphericalangle EBF|\) a \(|\sphericalangle EPM| = |\sphericalangle EFB|\). O uhloch \(EPM\) a \(EFB\) však nevieme na začiatku riešenia povedať, že sú súhlasné, lebo \(P\) nemusí ležať na úsečke \(EF\).

Ako správne pristupovať k takýmto úlohám

Ako si teda nakresliť obrázok správne? Obzvlášť v takých úlohách, kde máme ukazovať, že nejaký bod splýva s iným bodom alebo že tri útvary (priamky, kružnice, …) prechádzajú jedným bodom? Dobrým základom je nenakresliť do obrázku to, čo chceme dokazovať. Jeden spôsob je, že by sme si nakreslili bod \(P\) mimo úsečky \(EF\) a priamky \(p\) a \(q\) by nám preťali úsečky v dvoch rôznych bodoch, povedzme \(P_1\) a \(P_2\). V riešení by sme mohli napríklad ukázať, že bod \(P_1\) musí ležať v strede úsečky \(EF\) (cez stredné priečky alebo cez podobné trojuholníky \(EP_1M\) a \(EFB\)). Podobne by sme aj o bode \(P_2\) ukázali, že je v strede \(EF\). Tým ukážeme, že oba body sú totožné a sú totožné aj s bodom \(P\).

V našom riešení sme si do náčrtu nenakreslili úsečku \(EF\) a hľadali sme vlastnosti bodu \(P\), resp. skôr priamok \(p\), \(q\), ktoré nám prezradia, že bod \(P\) bude musieť ležať na úsečke \(EF\). Takýto postup môžeme použiť aj pri veľmi podobných úlohách, kde máme ukázať, že nejaké tri geometrické útvary prechádzajú jedným bodom: Zoberieme priesečník dvoch útvarov, pomenujeme si ho (napr. \(X\)) a ukážeme, že ním prechádza aj tretí útvar. Do obrázku si pritom zaznačíme len prvé dva útvary. Príp. ak chceme tretí, tak môžeme si ho dať mimo bod \(X\), no netreba obrázok zahlcovať čiarami.

Správna voľba dvoch útvarov, ktorými definujeme priesečník \(X\) vie byť niekedy dôležitá. V niektorých úlohách nám vie výrazne uľahčiť riešenie. Na precvičenie tohto prístupu si môžete dokázať veľmi užitočné tvrdenie: Dokážte, že v nie rovnoramennom trojuholníku \(ABC\) sa os strany \(AB\) a os uhla \(ACB\) pretínajú na opísanej kružnici. Jej riešenie môžete nájsť na strane 30 Zbierky KMS.¹