Zadanie

Adam mal snár. V snári boli odpovede. Odpovedali na otázky. Na otázky typu „Aký význam má to, čo sa mi práve snívalo?“ Krtko mal sen. Snívalo sa mu o trojuholníku. Trojuholník však v snári nebol. Preto bol Krtko smutný, keď mu Adam povedal: „Prepáč Krtko, teraz budeš smutný, lebo trojuholník v mojom snári nie je.“ A tak bol Krtko smutný. Ale nemusel by byť. Pomôžte vyriešiť Krtkov sen, aby bol šťastný.

Je daný trojuholník \(ABC\) s bodom \(E\) na strane \(BC\) tak, že \(|BE| > |EC|\). Zostrojte1 body \(D\) a \(F\) postupne na stranách \(AB\) a \(AC\) tak, aby uhol \(DEF\) bol pravý a zároveň aby úsečka \(DE\) delila úsečku \(BF\) na polovicu.

  1. Ak ste sa s podobným typom úloh ešte nestretli, môže vám pomôcť krátky text na stránke: https://kms.sk/ako_riesit/konstrukcne_ulohy/↩︎

image

Pozorovania

Predtým, ako popíšeme ako takéto body zostrojiť, pozrime sa na vlastnosti finálnej konštrukcie, ktorá vyplýva zo zadania. Vytvorme si bod \(K\) na polpriamke \(EC\) taký, že \(|BE| = |EK|\). Zo zadania vieme, že \(|BE| > |EC|\), z čoho vieme usúdiť, že bod \(K\) bude ležať mimo strany \(BC\).

Označme si \(S\) priesečník \(DE\) a \(BF\). Zo zadania vieme, že \(S\) je stredom úsečky \(BF\). Keďže zároveň je bod \(E\) stredom úsečky \(BK\), tak \(ES\) je strednou priečkou v trojuholníku \(FBK\). O stredných priečkach vieme, že sú rovnobežné s treťou stranou trojuholníka, a teda \(ES\ ||\ KF\).

Priamka \(EF\) pretína rovnobežné priamky \(ES\) a \(KF\), z čoho vyplýva, že uhly \(DEF\) a \(EFK\) sú striedavé, majú teda rovnakú veľkosť. Keďže zo zadania máme \(|\sphericalangle DEF| = 90^\circ\), platí tiež \(|\sphericalangle EFK| = 90^\circ\). Preto bod \(F\) musí ležať na Tálesovej kružnici nad úsečkou \(EK\).

Konštrukcia

Teraz keď už vieme čo to o vlastnostiach daného trojuholníka, môžeme popísať, ako by sme body \(D\) a \(F\) mohli skonštruovať.

  1. Vytvorme polpriamku \(EC\) a na nej bod \(K\) taký, že \(|BE| = |EK|\).

  2. Nájdime stred úsečky \(EK\) a označme ho \(M\). Skonštruujme kružnicu \(k\) so stredom v \(M\) a polomerom \(|MK|\).

  3. Priesečník kružnice \(k\) a strany \(AC\) je hľadaný bod \(F\).

  4. Skonštruujeme úsečku \(FE\) a na ňu kolmú priamku prechádzajúcu bodom \(E\). Priesečník tejto priamky a strany \(AB\) je hľadaný bod \(D\).

Je známe, že pomocou pravítka a kružidla vieme skonštruovať priamky, kružnice, stredy strán a kolmice. V našej konštrukcii sa nič iné nevyužíva, a teda sme schopný body \(D\) a \(F\) skonštruovať. V prvej časti riešenia sme zistili, že ak nejaké body \(D\), \(F\) majú spĺňať podmienky zo zadania, tak to musia byť presne takto skonštruované body. To, že \(D\), \(F\) skutočne spĺňajú podmienky zo zadania sa overí obráteným postupom. Keďže uhly \(KFE\) a \(FED\) sú pravé, tak \(KF\) a \(ED\) sú rovnobežné. Spolu s tým, že \(E\) je stred \(BK\) to znamená, že \(ES\) je stredná priečka v \(FBK\), teda \(S\) je stred \(BF\).

Čo sa môže pokaziť

image

Pri takejto konštrukcii však môže nastať problém. V bode \(3\) predpokladáme, že priesečník kružnice \(k\) a strany \(AC\) existuje. Ak však nastane situácia, kedy body \(A\) a \(C\) ležia oba vnútri kružnice \(k\) (inak povedané, platí \(|EM| > |AM|\)), tak tento priesečník neexistuje. Z pozorovaní však vieme, že bod \(F\) musí určite ležať na kružnici \(k\) kvôli tomu, aby bol uhol \(FED\) pravý. Preto vieme povedať, že pre takúto kombináciu trojuholníka \(ABC\) a bodu \(E\) nie je možné skonštruovať body \(D\) a \(F\).

Podobne by sme mohli uvažovať v bode \(4\), či sa kolmica na \(FE\) vždy pretne so stranou \(AB\). O uhle \(CED\) však vieme, že jeho veľkosť je menej ako \(180^\circ\). Je to preto, lebo uhol \(FED\) má byť pravý a \(FEK\) je pravouhlý trojuholník, čiže uhol \(FEK\) je vždy menší ako \(90^\circ\), čiže \(|\sphericalangle CED|<180^\circ\). Preto bod \(D\) nebude mimo úsečky \(AB\) za bodom \(B\). Keďže \(ED\) je rovnobežné s \(KF\), tak \(|\sphericalangle DEB|=|\sphericalangle FKE|<|\sphericalangle FCE|\), takže bod \(D\) nebude mimo úsečky \(AB\) ani za bodom \(A\). Tým vieme usúdiť, že priesečník kolmice na \(FE\) prechádzajúcej bodom \(E\) a priamky \(AB\) bude vždy ležať medzi bodmi \(A\) a \(B\).

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.