2. Krásnu Máme Svadbu vzorové riešenie

Jeden zo spôsobov ako riešiť sústavu rovníc je vyjadriť si neznámu z jednej rovnice a dosadiť ju do druhej. Môžeme si všimnúť, že \(d\) je v druhej rovnici vyjadrené ako \[d = h \cdot c.\] Môžeme ho teda dosadiť do prvej, \[\begin{aligned} h + c + d &= 47,\\ h + c + h \cdot c &= 47.\end{aligned}\] Ak zmeníme poradie členov v rovnici, mohlo by nám to začať niečo pripomínať, \[h \cdot c + h + c = 47.\] Ak si však ešte stále nie sme istý, čo by sme s tým vedeli robiť, môžeme sa pohrať s členmi rovnice a skúsiť niečo vymyslieť. Na začiatok by sme mohli skúsiť vyňať \(h\): \[h \cdot (c + 1) + c = 47.\] Teraz si môžeme všimnúť, že ak by sme na obe strany pripočítali \(1\), tak by sme mali dve zátvorky \((c+1)\): \[\begin{aligned} h \cdot (c + 1) + c &= 47,\\ h \cdot (c + 1) + c + 1 &= 48.\end{aligned}\] Toto ďalej upravíme na \[\begin{aligned} h \cdot (c + 1) + 1 \cdot (c + 1) &= 48,\\ (h + 1) \cdot (c + 1) &= 48.\end{aligned}\]

Keďže \(h\), \(c\), \(d\) majú byť celé kladné čísla, číslo \(48\) máme napísané v tvare súčinu dvoch prirodzených čísel. Rozložíme si číslo \(48\) na jeho všetky možné súčiny: \[\begin{aligned} 48 &= 1 \cdot 48\\ &= 2 \cdot 24\\ &= 3 \cdot 16\\ &= 4 \cdot 12\\ &= 6 \cdot 8.\end{aligned}\]

Keďže \(h\) a \(c\) predstavujú rôzne špeciálne podmienky, možnosti \[\begin{aligned} (h + 1, c + 1)&=(2,24) & &\text{a} & (h + 1,c + 1)&=(24,2)\end{aligned}\] považujeme za rôzne. Teraz môžeme jednotivé kombinácie čísiel dosadiť za zátvorky a dorátať \(h\), \(c\) a \(d\): \[\begin{aligned} 1 \cdot 48 &= 48 & (h + 1)&=1 & (c + 1)&=48 & h &= 0 & c &= 47 & d &= h \cdot c = 0 \cdot 47 = 0\\ & & (h + 1)&=48 & (c + 1)&=1 & h &= 47 & c &= 0 & d &= h \cdot c = 47 \cdot 0 = 0\end{aligned}\] Keďže \(h\), \(c\), \(d\) majú byť celé kladné čísla, tak pre \(1 \cdot 48 = 48\) neexistuje riešenie, pre ostatné štyri súčiny budeme postupovať analogicky. Výsledkom bude osem trojíc hodnôt pre \(h\), \(c\), \(d\):