Zadanie
Snúbenica varila obed. Povedala si, že osie hniezda znejú fajn. Osie hniezdo vyzerá ako kružnica \(k_1\), ktorá sa nachádza vnútri kružnice \(k_2\), pričom obe kružnice majú spoločný stred. Na kružnici \(k_1\) ležia dva body \(A\), \(B\) tak, že \(AB\) nie je priemerom kružnice \(k_1\). Polpriamka \(AB\) pretína kružnicu \(k_2\) v bode \(C\). Dotyčnica ku kružnici \(k_1\) v bode \(A\) a dotyčnica ku kružnici \(k_2\) v bode \(C\) sa pretínajú v bode \(P\). Z bodu \(P\) spravíme druhú dotyčnicu ku kružnici \(k_2\), ktorá sa jej dotkne v bode \(D\) (kde \(D \ne C\)). Do kuchyne vletela osa Amoska Pichľavá, no deti jej neverili, že je skutočne osa. Dokážte, že \(AP\) je osou uhla \(BAD\).
Jediné, čo k tejto úlohe budeme potrebovať, je nájsť a využiť tetivové štvoruholníky - teda tie štvoruholníky, ktorých vrcholy ležia na jednej kružnici. Ako prvé si však dodefinujme stred kružníc \(k_1\) a \(k_2\) ako \(S\).
Začneme tým, že sa pozrieme na štvoruholník \(SCPD\). Je dobre známym faktom, že takýto štvoruholník tvorený dotyčnicami a polomermi je symetrický podľa priamky \(SP\). Môžeme si to však aj ukázať na tom, že \(|SC|=|SD|\) (obe sú polomer \(k_2\)), \(|\sphericalangle SCP|=|\sphericalangle SDP|=90^\circ\) (medzi polomerom a dotyčnicou) a strana \(SP\) je spoločná. Trojuholníky \(SPD\) a \(SPC\) sú teda zhodné podľa vety \(Ssu\). Poznamenajme, že \(|\sphericalangle CSP|=|\sphericalangle DSP|\). Takisto si všimnime, že \(|\sphericalangle SCP|+|\sphericalangle SDP|=90^\circ +90^\circ =180^\circ\), teda vieme rovno aj povedať, že štvoruholník \(SCPD\) je tetivový.
Teraz sa pozrieme aj na štvoruholník \(SCPA\). Uhol \(SAP\) je takisto pravý (keďže \(AP\) leží na dotyčnici), a teda opäť vieme, že \(|\sphericalangle SCP|+|\sphericalangle SAP| = 90^\circ +90^\circ =180^\circ\), teda aj tieto 4 body sú na kružnici. Už z toho vieme povedať, že všetky body \(S\), \(C\), \(P\), \(D\), \(A\) sú na jednej kružnici, keďže ako dobre vieme, kružnicu definujú 3 body – v tomto prípade \(S\), \(C\), \(P\) – a už sme ukázali, že na kružnici tvorenej týmito bodmi je aj bod \(D\), aj bod \(A\).
Iná kružnica, ktorú by sme ešte mohli použiť, je napríklad \(SPDA\), kde sú oba uhly \(SAP\) aj \(SDP\) pravé, teda sú obvodové k tetive \(SP\), takže aj body \(S\), \(P\), \(D\) a \(A\) sú na kružnici.
Teraz, keď už vieme o všetkých bodoch na kružnici, môžeme začať veselo prenášať uhly po obvode. Takže \(|\sphericalangle CSP| = |\sphericalangle CAP|\), rovnako \(|\sphericalangle PSD|=|\sphericalangle PAD|\), a keďže sme si už na začiatku ukázali, že \(|\sphericalangle CSP|=|\sphericalangle DSP|\), tak aj pre prenesené uhly platí \(|\sphericalangle CAP|=|\sphericalangle PAD|\). Ešte treba dodať, že keďže bod \(B\) leží na úsečke \(AC\), tak \(|\sphericalangle CAP|=|\sphericalangle BAP|=|\sphericalangle PAD|\), z čoho už vidíme, že \(AP\) rozdeľuje uhol \(BAD\) na rovnaké časti – teda je jeho osou.
Iný spôsob ako sa odpichnúť od 5 bodov na kružnici je využiť vedomosť o Švrčkovom bode v bode \(P\). Švrčkov bod (alebo aj Švrk) je taký bod na kružnici opísanej ľubovoľnému trojuholníku \(XYZ\), v ktorom sa os strany \(YZ\) tohto trojuholníka pretína s osou uhla pri vrchole \(X\).1 Je to priesečník 3 čiar (kružnica, os strany, os uhla), no na jeho jasné definovanie nám stačia už ľubovoľné 2 z nich, pričom tretia ním musí tiež prechádzať. V tejto úlohe sa pozrieme na trojuholník \(CAD\). Bod \(P\) v ňom jednak leží na osi strany \(CD\) (keďže \(C\) a \(D\) sú symetrické podľa priamky \(SP\)) a dvak leží na kružnici tomuto trojuholníku opísanej, teda je jeho Švrkom. Spojnica Švrka \(P\) a vrcholu \(A\) teda musí byť jedine osou uhlu \(CAD\), a tým pádom aj uhla \(BAD\).
Ak sa chceš so Švrkom zoznámiť bližšie, odporúčame https://prase.cz/archive/36/serial.pdf (str. 29).↩︎
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.