Zadanie
Mišo ši kúpil čašopiš Šarm, v ktorom je úloha nájšť dešať rozdielov medzi obrázkami. Na jednom obrázku je pravouhlý trojuholník, ktorý nemá žiadne dve štrany rovnako dlhé. Druhý obrázok chýba. Mišo ši teda povedal, že ši rozdiely špraví šám. Vzal ši všetky možné (kladné) rozdiely dĺžok štrán a poškladal ši z nich vlaštný. Dokážte, že tento nový trojuholník nie je pravouhlý.
Označme si strany pôvodného trojuholníka \(a, b, c\). Keďže vieme, že žiadne dve nie sú rovnako veľké, môžeme bez ujmy na všeobecnosti predpokladať, že platí \(a < b < c\). Strana \(c\) bude teda preponou tohto trojuholníka, aj keď túto vlastnosť napokon nevyužijeme. Keďže \(c\) je najdlhšia a \(a\) je najkratšia, bude dĺžka najdlhšej strany v novom trojuholníku \((c-a)\). Zvyšné strany sú vďaka predpokladaným nerovnostiam \((c-b)\) a \((b-a)\).
Teraz by sme mohli predpokladať, že nový trojuholník je pravouhlý, a dosadiť dĺžky do Pytagorovej vety. Následné úpravy by viedli ku sporu, napríklad s faktom, že \(a, b, c\) sú všetko rôzne dĺžky. V skutočnosti sa to dá ešte o niečo jednoduchšie. Vieme si totiž všimnúť, že platí \[(c-a) = c-b+b-a = (c-b) + (b-a).\] Na to, aby z týchto dĺžok bolo možné poskladať trojuholník, musí platiť trojuholníková nerovnosť. V tomto konkrétnom prípade by ľavá strana musela byť ostro menšia ako pravá, čo neplatí. Mišov nový trojuholník tak nie je ani len trojuholníkom, nemôže teda byť pravouhlý.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.