7. Kúpim Mokrú Studňu vzorové riešenie

Aby sa nám ľahšie pracovalo, zavedieme si v našej štvorčekovej sieti súradnicový systém tak, že mrežové body sú práve body s celočíselnými súradnicami.

Súradnice vrcholov \(n\)-uholníka môžeme označiť ako \((x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n, y_n)\). Potom druhé mocniny dĺžok jeho strán, ktoré v úlohe skúmame, sú \((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2\), \((x_3-x_2)^2 + (y_3-y_2)^2\) a tak ďalej. Môžeme si všimnúť, že každá dĺžka strany na druhú je súčtom dvoch štvorcov (druhých mocnín celých čísel).

Tí z vás, ktorí už majú nejaké skúsenosti s počítaním so zvyškami, asi vedia, že druhé mocniny čísel dávajú po delení štyrmi iba zvyšky \(0\) a \(1\). Je to tak kvôli tomu, že zvyšok druhej mocniny závisí len od zvyšku samotného čísla. Keď si umocníme všetky možné zvyšky od \(0\) do \(3\), tak dostaneme ako výsledky iba zvyšky \(0\) a \(1\). Ak neveríte, môžete si zobrať ľubovoľné číslo, vydeliť ho štyrmi so zvyškom a počítať. Vyjde vám jedna z týchto možností: \[\begin{align} (4k)^2 &= 16k^2 = 4(4k^2) + 0, \\ (4k+1)^2 &= 16k^2 + 8k + 1 = 4(4k^2 + 2k) + 1, \\ (4k+2)^2 &= 16k^2 + 16k + 4 = 4(4k^2 + 4k + 1) + 0, \\ (4k+3)^2 &= 16k^2 + 24k + 9 = 4(4k^2 + 6k + 2) + 1.\end{align}\]

Keď jeden štvorec môže mať zvyšok po delení štyrmi \(0\) alebo \(1\), súčet dvoch štvorcov môže mať zrejme zvyšok iba \(0\), \(1\) alebo \(2\). Ak súčty dvoch druhých mocnín (druhé mocniny dĺžok strán) tvoria postupnosť po sebe idúcich čísel a sú aspoň štyri, táto postupnosť nutne bude obsahovať aj číslo so zvyškom \(3\) po delení \(4\). Takéto číslo ale nevieme vyjadriť ako súčet dvoch druhých mocnín, čo je spor. To znamená, že pre \(n \geq 4\) (a teda aj špeciálne pre \(n=2022\)) vhodná studňa neexistuje.

Ostáva nám prípad \(n = 3\). Stále platí, že našou postupnosťou nechceme trafiť číslo so zvyškom \(3\) po delení \(4\), takže štvorce dĺžok strán musia mať postupne zvyšky \(0\), \(1\) a \(2\), čiže byť tvaru \(4k\), \(4k+1\) a \(4k+2\) pre nejaké nezáporné číslo \(k\). Ak všetky tri druhé mocniny dĺžok strán sčítame, musí platiť: \[\begin{align} ((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2) + ((x_3-x_2)^2 + (y_3-y_2)^2) + ((x_3-x_1)^2 + (y_3-y_1)^2) &= 4k + (4k + 1) + (4k + 2), \\ 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 - 2x_1x_2 - 2x_1x_3 - 2x_2x_3 + 2y_1^2 + 2y_2^2 + 2y_3^2 - 2y_1y_2 - 2y_1y_3 - 2y_2y_3 &= 12k + 3.\end{align}\]

Keď sme výrazy roznásobili, na ľavej strane vznikli členy tvaru \(-2x_ix_j\) a \(-2y_iy_j\). Okrem toho nám vznikli druhé mocniny súradníc (\(2x_i^2\) a \(2y_i^2\)) – každá súradnica na druhú práve dvakrát. Ľavá strana je tak párna, ale na pravej máme \(12k+3\), čo je nepárne. Párne číslo sa nemôže rovnať nepárnemu, a teda aj v tomto prípade má inzerent smolu a vyhovujúca studňa neexistuje.