10. Kúpim Mäkké Spoluhlásky vzorové riešenie

Z úcty k nášmu ako aj čitateľovmu mentálnemu zdraviu bude toto vzorové riešenie napísané bez diakritiky v matematických označeniach.

Najskôr dokreslíme dôležité body. Označme postupne \(H\) bod dotyku kružnice vpísanej trojuholníku \(ABD\) so stranou \(BD\), kým \(H'\) bude bod presne „oproti“ \(H\) v tejto vpísanej kružnici (konštrukcia analogická bodom \(E, E'\) v kružnici \(\omega\)).

Začnime s dôkazom, že \(A\), \(H'\), \(E\) ležia na priamke. Všimnime si, že bod \(E\) je totožný s bodom dotyku kružnice pripísanej trojuholníku \(ABD\) vzhľadom na bod \(A\). Je to z dôvodu, že body dotyku vpísanej a pripísanej kružnice na jednu stranu trojuholníka sú symetrické vzhľadom na stred danej strany. To body \(H\) a \(E\) spĺňajú, pretože trojuholníky \(ABD\) a \(CDB\) sú stredovo súmerné podľa stredu \(BD\) a \(H\), \(E\) sú body dotyku vpísaných kružníc so stranou \(BD\) v jednotlivých trojuholníkoch. Ak teraz uvažujeme rovnobežku na stranu \(BD\) prechádzajúcu bodom \(H'\) (ktorá je dotyčnicou ku kružnici vpísanej \(ABD\)) a označíme postupne \(B',D'\) jej priesečníky s priamkami \(AB, AD\), potom kružnica vpísaná \(ABD\) je kružnicou pripísanou trojuholníku \(AB'D'\) vzhľadom na \(A\). Lenže trojuholníky \(AB'D'\) a \(ABD\) sú podobné a zobrazujú sa na seba v rovnoľahlosti so stredom v bode \(A\). Preto v tej istej rovnoľahlosti sa tiež zobrazujú body dotyku pripísaných kružnic vzhľadom k bodu \(A\). To sú práve body \(H'\) a \(E\), a teda musia ležať s \(A\) na priamke.

V riešení budeme pokračovať dvoma spôsobmi. Prvý využíva harmonický štvorpomer, druhý využíva symediány.

Riešenie využívajúce harmonický štvorpomer

Všimnime si, že \(EE' \perp BD\). Aby sme ukázali, že stred kružnice opísanej trojuholníku \(EXF\) leží na priamke \(BD\), nám stačí ukázať, že sa táto kružnica dotýka priamky \(EE'\) v bode \(E\).

Označme \(Q\) nevlastný bod priamky \(HH'\). Všimnime si, že \(HH' \parallel EE'\), preto \(Q \in EE'\). Keďže \(I\) je stredom \(HH'\), platí¹ \((H',H;I,Q) = -1\). Premietaním cez bod \(E\) na kružnicu \(\omega\) dostávame \[(H',H;I,Q) = (EH', EH; EI, EQ) = (F,E;G,E'),\]

z čoho vyplýva, že \(FGEE'\) je harmonický štvoruholník a platí \(\frac{|FG|}{|FE'|} =\frac{|EG| }{|EE'|}\). Z tejto rovnosti vyplýva, že os uhla \(GEE'\) delí stranu \(GE'\) v rovnakom pomere ako os uhla \(GFE'\), z čoho vyplýva, že \(X\) leží na osi uhla \(GFE'\). Označme antiŠvrčkov bod trojuholníka \(EGE'\) k bodu \(E\) ako \(N\). Keďže \(FX\) je os uhla \(GFE'\), \(N\) bude ako Švrčkov bod trojuholníka \(E'FG\) na \(FX\) ležať. Zároveň bude \(N\) ležať aj na osi vonkajšieho uhla \(GEE'\), teda platí \(EN \perp EX\), pričom \(EE'\) je priemer kružnice, preto \(EN \perp NE'\), z čoho vyplýva \(NE' \parallel EX\). Teraz už jednoduchým uhlením dokážeme, že sa kružnica opísaná trojuholníku \(EXF\) dotýka priamky \(EE'\) v bode \(E\). Totiž, \[|\angle EFX| = |\angle EFN| = |\angle EE'N| = |\angle E'EX|,\] z čoho vyplýva, že uhol \(E'EX\) je úsekový k uhlu \(EFX\), čím je dôkaz hotový.

Riešenie využívajúce symediány

Po chvíli hrania sa s konfiguráciou a prípadnom narysovaní si obrázka si rýchlo všimneme, že stred kružnice opísanej trojuholníku \(EXF\) vskutku leží na priamke \(BD\), ale možno trochu viac prekvapivo, že leží tiež na priamke \(E'XG\). Pokúsime sa teda dokázať, že priesečník priamok \(BD\) a \(E'G\) s označením \(P\) je stredom kružnice opísanej trojuholníku \(EXF\).

Stačí nám ukázať, že \(|PE|=|PX|=|PF|.\) Začneme dôkazom rovnosti \(|PE|=|PX|\), ktorá je podstatne jednoduchšia. Je známy fakt, že \(|\angle EXP|=|\angle EE'X|+|\angle E'EX|.\) Stačí teda ukázať, že to isté platí o uhle \(XEP.\) Nakoľko \(EX\) je os uhla \(GEE',\) vieme, že \(|\angle E'EX|=|\angle XEG|.\) Zároveň, keďže \(EE'\) je priemerom \(\Omega,\) vieme, že \(EE' \perp EP\), a teda \(|E'PE|=90^\circ-|\angle EE'X|.\) Ale keďže zároveň z Tálesovej vety vieme, že \(EG \perp E'P,\) tak potom nutne \(|\angle GEP|=90^\circ-|\angle E'PE|=|\angle EE'X|\), a teda \(|\angle GEP|+|\angle XEG|=|\angle EE'X|+|\angle E'EX|\), čo je ekvivalentné s \(|\angle EXP|=|\angle XEP|,\) čo sme chceli dokázať.

Teraz sa pozrime na rovnosť \(|PE|=|PF|.\) Vieme, že \(PE\) je dotyčnicou ku kružnici \(\Omega.\) Preto \(|PE|=|PF|\) je ekvivalentné s tvrdením, že \(PF\) je tiež dotyčnicou k \(\Omega\). Toto by platilo, ak by sa nám podarilo dokázať, že \(E'G\) je symediánou² z \(E'\) v trojuholníku \(EFE'.\) Prečo? Pretože o symediánach je známe, že prechádzajú priesečníkom dotyčníc k opísanej kružnici daného trojuholníka v bodoch rôznych od toho, z ktorého symediána vychádza. V tomto prípade teda dotyčníc k \(\Omega\) v bodoch \(E\) a \(F\).

Ako ukázať, že je nejaká priamka symediánou z nejakého bodu v trojuholníku? Podľa definície, symediána je priamka, ktorá vznikne ako obraz ťažnice v osovej súmernosti podľa osi uhla v trojuholníku (všetko vzhľadom na ten istý fixný bod trojuholníka, napríklad \(E'\)). Presne to teda ukážeme o priamke \(E'G\). To však nebude také jednoduché a budeme musieť siahnuť na dno našej sofistikovanosti. Potrebovali by sme ukázať, že \(E'G\) a ťažnica z bodu \(E'\) v trojuholníku \(EE'F\) sú osovo súmerné vzhľadom na os uhla \(EE'F\). O tejto ťažnici ale nič nevieme a dokresľovať ju do obrázka taktiež nikam nepovedie. Namiesto toho túto ťažnicu nájdeme bez dokresľovania v inom trojuholníku, ktorý ale bude trojuholníku \(EE'F\) podobný. Označme postupne \(H\) bod dotyku kružnice vpísanej trojuholníku \(ABD\) so stranou \(BD\), kým \(H'\) bude bod presne „oproti“ \(H\) v tejto vpísanej kružnici (konštrukcia analogická bodom \(E, E'\) v kružnici \(\Omega\)).

Očividne, priamka \(EI\) je ťažnicou trojuholníka \(EHH'\) (nezabudni, \(I\) je stredom priemeru vpísanej kružnice). Ako už vieme, body \(A, H', E\) ležia na priamke čo je dosť fajn, pretože bystré oko zočí, že trojuholníky \(EHH'\) a \(EE'F\) potom musia byť podobné. Potom by už len stačilo ukázať, že ťažnica \(EI\) zviera s ramenami \(EH'\) a \(EH\) rovnaké uhly, ako zviera priamka \(E'G\) s ramenami \(E'E\) a \(E'F\), ale obrátene vzhľadom na rolu daných strán v podobnosti trojuholníkov \(EHH'\) a \(EE'F\).

Teraz ukážeme, že trojuholníky \(EHH'\) a \(EE'F\) sú vskutku podobné. Na to treba iba kúsok uhlenia. Konkrétne, uhly \(HEH'\) a \(FEP\) sú vrcholové a majú rovnakú veľkosť. Uhly \(FEP\) a \(EE'F\) sú úsekové a majú tiež rovnakú veľkosť. Podľa vety \(uu\) sú teda trojuholníky \(EHH'\) a \(EE'F\) naozaj podobné.

Zostáva nám ukázať, že priamky \(E'G\) a \(EI\) majú symetrickú rolu vzhľadom na prislúchajúce body \(E, E'\) v podobných trojuholníkoch. Uhol \(IEH'\) je vrcholový s uhlom \(FEG\) a ten je obvodový s uhlom \(FE'G\), teda tieto dva uhly majú rovnakú veľkosť. Lenže strana \(E'F\) zodpovedá v podobnosi trojuholníkov \(EHH'\) a \(EE'F\) strane \(EH\). Teda rovnosť uhlov \(IEH'\) a \(FE'G\) znamená nie zhodnú, ale symetrickú rolu priamok \(E'G\) a \(EI\) v príslušných trojuholníkoch. Teda tieto dve priamky sú osovo súmerné cez os uhla (nie doslova, ale vzhľadom na podobnosť trojuholníkov \(EHH'\) a \(EE'F\)), a teda \(E'G\) musí byť naozaj symediánou. Tým je náš dôkaz ukončený.