2. Krúžime Medzi Stanicami $\left(\kappa \le 2\right)$ vzorové riešenie

Zo zadania vieme, že \(|AC| = |CE| = \sqrt{85}\) a keďže trojuholníky \(ABC\) a \(CDE\) sú pravouhlé s preponami postupne \(AC\), \(CE\), z Pytagorovej vety musí platiť \[\begin{align} |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2 &= 85,\\ |CD|^2 + |DE|^2 = |CE|^2 &= 85.\end{align}\] Všimnime si, že nie je veľa spôsobov, ako zapísať \(85\) ako \(a^2 + b^2\), kde \(a\), \(b\) sú prirodzené čísla. Ak by bolo \(a \geq 10\), potom \(a^2 + b^2 \geq 100 > 85\), preto nutne \(1 \leq a \leq 9\). Teraz nám už stačí vyskúšať všetky tieto \(a\) a nájsť vyhovujúce \(b\), ktoré bude spĺňať \[b = \sqrt{85 - a^2},\] čomu vyhovujú dvojice \((a,b)\in\{(2,9), (9,2), (6,7), (7,6)\}\). Tieto dvojice obsahujú štyri rôzne čísla \(2\), \(6\), \(7\), \(9\) a keďže \(|AB|\), \(|BC|\), \(|CD|\), \(|DE|\) sú po dvoch rôzne, musia byť tieto dĺžky rovné týmto číslam v nejakom poradí, preto \[|AB| + |BC| + |CD| + |DE| = 2 + 6 + 7 + 9 = 24.\]

Už nám stačí iba odhadnúť \(|AF| + |FE|\). Použijeme trojuholníkovú nerovnosť, musí platiť \[|EF| + |FA| > \sqrt{85} > 9,\]

preto \(|AF| + |FE| \geq 10\). Všimnime si však, že nemôžeme dostať \(10\) ako súčet dvoch rôznych prirodzených čísel bez použitia \(2\), \(6\), \(7\), \(9\), preto \(|EF| + |FA| \geq 11\), pričom rovnosť nastane napríklad pre \(|EF| = 10\), \(|FA| = 1\).

Dostávame tak, že obvod šesťuholníka je aspoň \[|AB| + |BC| + |CD| + |DE| + |EF| + |FA| \geq 24 + 11 = 35,\] pričom šesťuholník splňujúci podmienky zo zadania s obvodom \(35\) je napríklad taký, v ktorom \(|AB|=6\), \(|BC| = 7\), \(|CD|= 9\), \(|DE|=2,\) \(|EF| = 8\), \(|FA| = 3\).