Zadanie
Vedúci by radi mali prehľad o tom, kde vo vlaku sedia ktorí účastníci. Na to je potrebné pozerať sa na nich pod správnym uhlom. Na niektorých pod \(60\)-stupňovým, na iných pod \(45\)-stupňovým. Pomôžte im nájsť všetky potrebné uhly.
V trojuholníku \(ABC\) zvolíme bod \(D\) na strane \(BC\) tak, aby \(|BD| = 2 \cdot |CD|\). Vieme, že \(|\sphericalangle BDA| = 60^\circ\) a \(|\sphericalangle BCA| = 45^\circ\). Určte veľkosť uhla \(ABC\).
Základ je si čo najintuitívnejšie označiť obrázok a potom to už pôjde. Preto vrchol \(A\) umiestnime hore a \(B\) vpravo dole.
Dobre, \(|\sphericalangle BDA| = 60^\circ\), vďaka tomu k nemu susedný uhol \(\sphericalangle CDA\) má veľkosť \(120^\circ\). Zo zadania vieme, že \(|\sphericalangle DCA| = 45^\circ\), takže uhol \(\sphericalangle CAD\) ľahko dorátame a dostávame \(|\sphericalangle CAD| = 180^\circ - 120^\circ - 45^\circ = 15^\circ\).
Teraz nám môže napadnúť si nájsť bod \(E\) tak, že \(|\sphericalangle ACE| = 15^\circ\). Motivácia za tým je vyrobiť si rovnoramenný trojuholník \(\triangle CEA\). Vďaka tomu \(|AE|=|CE|\) a zároveň vieme dopočítať uhol \(|\sphericalangle CEA| = 180^\circ - 15^\circ - 15^\circ = 150^\circ\). Zo susednosti s uhlom \(|\sphericalangle CEA| = 150^\circ\), rovno máme, že \(|\sphericalangle CED| = 30^\circ\). Podobne aj uhol \(|\sphericalangle ECD| = |\sphericalangle DCA| - |\sphericalangle ACE| = 45^\circ - 15^\circ = 30^\circ\). \(\triangle CDE\) je tiež rovnoramenný, čo v nás vzbudzuje dôveru, že dokresliť bod \(E\) bol správny krok. Zároveň máme, že \(|CD|=|DE|\).
V tomto momente je dobré si dokresliť bod \(F\). Pôvodne som tak robil, aby som získal \(|DF|=|BF|=|CD|\). Ale vďaka tomu, že aj dĺžka úsečky \(DE\) je rovnaká tak získavame napríklad z Tálesovej vety, že \(\triangle CEF\) je pravouhlý. Ešte o kúsok dôležitejšie je však pozorovanie, že \(|\sphericalangle BDA| = 60^\circ\), a teda \(\triangle EFD\) je rovnostranný. V tomto momente vidíme, že trojuholníky \(\triangle CEF\) a \(\triangle BED\) sú dokonca zhodné podľa vety sus, \(|CF|=|DB|\), \(|FE|=|DE|\) a \(|\sphericalangle BDA| = 60^\circ = |\sphericalangle CFE|\). Teda už vieme, že všetky úsečky rovnakej farby majú rovnakú dĺžku.
Ďalej si spomenieme, že \(|\sphericalangle ECD| = 30^\circ\) a zo zhodnosti trojuholníkov \(\triangle CEF\) a \(\triangle BED\) dostávame, že \(|\sphericalangle DBE| = 30^\circ\) tiež. Posledná vec, čo nás čaká, je ukázať, že \(|\sphericalangle BEA| = 90^\circ\). Už vieme, že \(|\sphericalangle CEA| = 150^\circ\), \(|\sphericalangle CED| = 30^\circ\) a \(|\sphericalangle DEB| = 90^\circ\) (spomeňme si, že \(\triangle CEF\) a \(\triangle BED\) sú zhodné a \(\triangle CEF\) je pravouhlý). Potom \(|\sphericalangle BEA| = 360^\circ - 150^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 90^\circ\). \(\triangle BEA\) je rovnostranný s pravým uhlom pri vrchole \(E\), takže \(|\sphericalangle EBA| = 45^\circ\). Dokopy dostávame \(|\sphericalangle CBA| = 75^\circ\). Podotknime, že tento odsek sa dal nahliadnuť aj cez obvodové a stredové uhly.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.