Zadanie
V laboratóriu je vtákopysk, ktorý robí mnohé nebezpečné experimenty. My sa obmedzíme na bezpečnejšie priestorové pokusy.
K dispozícii máme dva nástroje. Gulidlo pre zadané body \(A\), \(B\) zostrojí guľu so stredom \(A\), ktorá má na povrchu bod \(B\). Rovinítko pre tri zadané body, ktoré neležia na jednej priamke, zostrojí rovinu, ktorá prechádza týmito bodmi.
V priestore je zadaná rovina a bod, ktorý na nej neleží. Nájdite spôsob, ako zostrojiť priamku kolmú na zadanú rovinu, prechádzajúcu zadaným bodom. Priamku \(p\) a rovinu \(\pi\) nazývame navzájom kolmými, ak je priamka \(p\) kolmá na dve ľubovolné rôznobežné priamky ležiace v rovine \(\pi\).
Pre dve zadané roviny skonštruujte ich rovinu súmernosti. Rovina súmernosti je množina bodov, ktoré sú rovnako vzdialené od oboch rovín. Vzdialenosť bodu \(X\) od roviny \(\pi\) je vzdialenosť bodu \(X\) od najbližšieho bodu roviny \(\pi\).
V priestore je zadaný štvorsten. Skonštruujte jemu vpísanú guľu. Guľa vpísaná štvorstenu je taká guľa, ktorá má s každou jeho stenou spoločný práve jeden bod.
Nezabudnite aj dokázať správnosť vašej konštrukcie.
Postupne zaradom vyriešime otázky zo zadania. Začnime zopár základnými pozorovaniami, ktoré nám zjednodušia prácu. Ak sa povrchy dvoch gulí pretínajú vo viac ako jednom bode, tvorí daný priesečník kružnicu. Ak povrch gule pretína rovinu vo viac ako jednom bode, priesečník je opäť kružnica. V oboch prípadoch vieme cez priesečník viesť rovinu. Na kružnici vyznačíme tri body a použijeme rovinítko. Keďže kružnica je rovinný útvar, vo výslednej rovine budú ležať všetky jej body. V prípade dvoch gulí bude navyše výsledná rovina kolmá na spojnicu stredov.
Kolmica na rovinu.
Prejdime ku kolmici \(k\) – nech je zadaný bod \(A\) a rovina \(\pi\), na ktorú robíme kolmicu cez \(A\). Vyznačme ľubovoľný bod \(B \in \pi\) a spravme guľu \(g\) so stredom \(A\), ktorá má na povrchu \(B\). Ak je prienik \(g\) a \(\pi\) len bod \(B\), hľadaná kolmica \(k\) je práve priamka \(AB\). V opačnom prípade je priesečníkom kružnica. Priamka \(k\) musí preťať \(\pi\) v bode, ktorý je k nej najbližšie a to bude práve stred vzniknutej kružnice.
Ako nájdeme tento stred? Využijeme naše znalosti z roviny. Na kružnici vyznačíme dve úsečky a spravíme ich osi. Ak nebudú úsečky rovnobežné, priesečníkom osí bude stred kružnice. Túto konštrukciu vieme spraviť aj v priestore pomocou gulidla a rovinítka. Gule budú mať v rovine \(\pi\) len kružnice, roviny ju zase pretnú v priamke. Os úsečky \(XY\) tak vieme získať pomocou gule so stredom \(X\) a bodom \(Y\) na povrchu a gule so stredom \(Y\) a bodom \(X\) na povrchu. Kružnicou, ktorá ktorá vznikne ako prienik týchto gulí, prevedieme rovinu, ktorá nám dá v rovine hľadanú os. V priestore to bude rovina symetrie úsečky \(XY\), teda množina bodov rovnako vzdialená od oboch koncov úsečky.
Keď nájdeme stred \(S\) našej kružnice, výslednou kolmicou \(k\) bude priamka \(AS\). Tú vieme skonštruovať ako prienik dvoch rôznobežných rovín, ktoré obsahujú \(A\) aj \(S\).
Roviny súmernosti.
Druhým krokom je rovina súmernosti. Máme zadané roviny \(\pi\) a \(\rho\), chceme rovinu \(\sigma\), ktorá bude spĺňať podmienky zo zadania. Tu je dôležité si uvedomiť, že rovina súmernosti je analógiou k osi uhla v rovine. Keď si našu situáciu preložíme rovinou kolmou na obe zadané roviny, v prieniku dostaneme dve priamky. Tu spĺňajú zadanie práve osi uhlov, ktoré tieto priamky zvierajú. V priestore potom potrebujeme tento prípad „roztiahnuť“ kolmo na rovinu v ktorej sme pracovali. Riešenie rozdelíme na dva prípady.
Prvým je možnosť, že \(\pi\) a \(\rho\) sú rovnobežné. Vtedy hľadáme rovinu, ktorá bude presne v strede medzi nimi. Zvolíme si bod \(A\) ľubovoľne a podľa postupu vyššie skonštruujeme spoločnú kolmicu na obe roviny. Jej priesečníky s \(\pi\) a \(\rho\) označíme postupne \(B, C\) a spravíme rovinu symetrie úsečky \(BC\). To nám dá hľadanú rovinu.
Teraz sa pozrime na možnosť, keď sú \(\pi\) a \(\rho\) rôznobežné. Ich priesečníkom je priamka \(p\). Zvoľme na nej body \(A,B\) a spravme rovinu symetrie úsečky \(AB\), ktorú označíme \(\tau\). Rovina \(\tau\) je kolmá na priamku \(p\), takže je kolmá aj na \(\pi\) a \(\rho\). Pozrime sa do roviny \(\tau\). Aj \(\pi\) aj \(\rho\) ju pretínajú v dvoch priamkach – \(q\) a \(r\). Opäť si vieme pomôcť situáciou z roviny a teda zostrojiť os(i) uhla medzi týmito priamkami. Označme \(X\) priesečník \(p \cap \tau\) a zostrojme guľu so stredom \(X\) a ľubovoľným polomerom. Tá pretne priamky \(q\) a \(r\) v bodoch \(Y, Y'\) a \(Z, Z'\). Roviny symetrie \(YZ\) a \(Y'Z\) budú rovinami symetrie \(\sigma\).
Vpísaná guľa.
Na záver majme štvorsten \(ABCD\). Stred \(S\) vpísanej gule musí byť rovnako vzdialený od všetkých stien a teda aj rovnako vzdialený od rovín \(ABC,\, ABD,\, ACD,\, BCD\). Musí teda ležať na osi každej dvojice rovín. Nám budú stačiť aj tri osi. Totiž, na \(\left|S, \overleftrightarrow{ABC}\right| = \left|S, \overleftrightarrow{ABD}\right| = \left|S, \overleftrightarrow{ACD}\right| = \left|S, \overleftrightarrow{BCD}\right|\) stačí bodu \(S\) ležať na osi \(\overleftrightarrow{ABC}\) a \(\overleftrightarrow{ABD}\) (prvá rovnosť), \(\overleftrightarrow{ABD}\) a \(\overleftrightarrow{ACD}\) (druhá rovnosť), \(\overleftrightarrow{ACD}\) a \(\overleftrightarrow{BCD}\) (tretia rovnosť).
Tieto roviny súmernosti zostrojíme podľa postupu vyššie a vyznačíme ich prienik – bod \(S\). Následne potrebujeme nájsť najbližší bod roviny \(\overleftrightarrow{ABC}\) k bodu \(S\). Cez ten vedie kolmica na \(\overleftrightarrow{ABC}\) prechádzajúca bodom \(S\). Tú vieme tiež zostrojiť. Tento bod označíme \(X\) a guľa so stredom \(S\), ktorá má na povrchu bod \(X\) bude vpísaná do štvorstenu \(ABCD\).
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.