6. Kváder Môžeme Skúmať vzorové riešenie

Keďže platí \[a+b+c+d = \frac{(b+2c+d) + (c+2d+a) + (d+2a+b) + (a+2b+c)}{4},\] môžeme si nerovnosť prepísať do tvaru, v ktorom sa nám opakujú tie isté výrazy: \[\frac{(b+2c+d) + (c+2d+a) + (d+2a+b) + (a+2b+c)}{4}\cdot\left(\frac{1}{b+2c+d}+\frac{1}{c+2d+a}+\frac{1}{d+2a+b}+\frac{1}{a+2b+c}\right)\geq 4.\]

Opakujúce sa výrazy \((b+2c+d)\), \((c+2d+a)\), \((d+2a+b)\) a \((a+2b+c)\) si označíme ako \(w, x, y, z\), aby bola nerovnosť prehľadnejšia. Nové premenné sú pritom tiež kladné, pretože sú súčtom kladných čísel. \[\frac{w + x + y + z}{4}\cdot\left(\frac{1}{w} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) \geq 4.\] Keďže prevrátená hodnota kladného čísla je kladná a súčet kladných čísel je kladný, druhou zátvorkou môžeme nerovnosť vydeliť a dostať \[\frac{w + x + y + z}{4} \geq \frac{4}{\frac{1}{w} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}},\] čo platí zo známej nerovnosti medzi aritmetickým a harmonickým priemerom (AM-HM nerovnosť) – je to presne jej znenie pre štyri čísla. A nakoľko sme v celom riešení používali ekvivalentné úpravy, vieme sa spätne dostať k požadovanej nerovnosti.

Riešenie pomocou permutačnej nerovnosti

Iný spôsob, ako nerovnosť dokázať, ak nám nenapadne harmonický priemer, ale poznáme permutačnú nerovnosť, je nasledovný. Vynásobme nerovnosť štyrmi: \[\left(w + x + y + z\right)\left(\frac{1}{w} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) \geq 16.\]

Po roznásobení a preusporiadaní členov dostaneme \[\left(x\cdot\frac{1}{x} + y\cdot\frac{1}{y} + z\cdot\frac{1}{z} + w\cdot\frac{1}{w}\right) + \left(x\cdot\frac{1}{y} + y\cdot\frac{1}{z} + z\cdot\frac{1}{w} + w\cdot\frac{1}{x}\right) +\] \[+\left(x\cdot\frac{1}{z} + y\cdot\frac{1}{w} + z\cdot\frac{1}{x} + w\cdot\frac{1}{y}\right) + \left(x\cdot\frac{1}{w} + y\cdot\frac{1}{x} + z\cdot\frac{1}{y} + w\cdot\frac{1}{z}\right) \geq 16.\]

Môžete si overiť, že každá kombinácia premenných v čitateli a menovateli sa tu vyskytuje práve raz. V každej štvorici sčítancov (v zátvorke) je každá premenná práve raz v čitateli a práve raz v menovateli. Každá štvorica sčítancov je teda súčet súčinov nejako popárovaných hodnôt \(x, y, z, w\) s hodnotami \(\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}, \frac{1}{w}\).

Z permutačnej nerovnosti vieme, že takýto súčet bude najmenší, ak popárujeme najväčšie číslo s najmenším atď. Oplatí sa nám preto párovať vždy \(x\) s \(\frac{1}{x}\), \(y\) s \(\frac{1}{y}\) atď., pretože ak je \(x\) najväčšie spomedzi našich premenných, tak \(\frac{1}{x}\) bude najmenšie. Je to tak preto, že funkcia \(\frac{1}{x}\) je klesajúca, čím mám väčšie \(x\), tým menšie mám \(\frac{1}{x}\). Pozor, tu využívame, že naše premenné sú kladné.

Každá štvorica bude mať teda väčšiu alebo rovnakú hodnotu ako najmenšia permutácia, a keďže máme štyri štvorice, tak platí: \[\left(x\cdot\frac{1}{x} + y\cdot\frac{1}{y} + z\cdot\frac{1}{z} + w\cdot\frac{1}{w}\right) + \left(x\cdot\frac{1}{y} + y\cdot\frac{1}{z} + z\cdot\frac{1}{w} + w\cdot\frac{1}{x}\right) +\] \[+\left(x\cdot\frac{1}{z} + y\cdot\frac{1}{w} + z\cdot\frac{1}{x} + w\cdot\frac{1}{y}\right) + \left(x\cdot\frac{1}{w} + y\cdot\frac{1}{x} + z\cdot\frac{1}{y} + w\cdot\frac{1}{z}\right) \geq 4 \cdot \left(x\cdot\frac{1}{x} + y\cdot\frac{1}{y} + z\cdot\frac{1}{z} + w\cdot\frac{1}{w}\right) = 4 \cdot 4 = 16,\] čo sme presne chceli dokázať.

Riešenie pomocou Jensenovej nerovnosti

Ukážeme iný spôsob, ako dokázať nerovnosť \[\left(w + x + y + z\right)\left(\frac{1}{w} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) \geq 16.\] Upravíme si ju na \[\frac{\frac{1}{w} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}{4} \geq \frac{4}{w + x + y + z} = \frac{1}{\frac{w + x + y + z}{4}}.\] O funkcii \(f(x) = \frac{1}{x}\) vieme, že na kladných reálnych číslach je konvexná (oblasť nad jej grafom je konvexná). Preto pre ňu z Jensenovej nerovnosti platí, že priemer funkčných hodnôt (v bodoch \(w\), \(x\), \(y\), \(z\) – na ľavej strane nerovnosti) je väčší alebo rovný ako funkčná hodnota v priemere, teda \(f(\frac{w+x+y+z}{4}) = \frac{4}{w+x+y+z}\), čím sme dostali chcenú nerovnosť.

Riešenie pomocou „zlomkobijca“

„Zlomkobijec“ je nerovnosť odvodená z Cauchy-Schwarzovej nerovnosti a hovorí nám, že pre kladné reálne čísla \(a_1, \dots a_n, b_1, \dots b_n\) platí: \[\frac{a_1^2}{b_1} + \dots + \frac{a_1^2}{b_1} \geq \frac{(a_1 + \dots + a_n)^2}{b_1 + \dots + b_n}.\] Platí preto \[\left(w + x + y + z\right)\left(\frac{1}{w} + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\right) \geq (w+x+y+z)\cdot\frac{(1+1+1+1)^2}{w+x+y+z}=4^2=16.\]

Tu sme využili, že \(w+x+y+z\) je kladné číslo, takže z neho môžeme zobrať odmocninu. Celé by sa to dalo urobiť aj bez zavedenia \(w, x, y, z\) (stačí si v každom kroku za ne dosadiť), ale boli by tam veľmi dlhé výrazy.